Questão 88 da FUVEST 2003

Question

O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

Triângulo ABC de base b e altura h com um retângulo DEFG inscrito, tendo os vértices E e F sobre o lado BC, D sobre AB e G sobre AC.

A
\dfrac{bh}{h + b}
B
\dfrac{2bh}{h + b}
C
\dfrac{bh}{h + 2b}
D
\dfrac{bh}{2h + b}
E
\dfrac{bh}{2(h + b)}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 88 da FUVEST 2003

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

Triângulo ABC de base b e altura h com um retângulo DEFG inscrito, tendo os vértices E e F sobre o lado BC, D sobre AB e G sobre AC.

A
\dfrac{bh}{h + b}
B
\dfrac{2bh}{h + b}
C
\dfrac{bh}{h + 2b}
D
\dfrac{bh}{2h + b}
E
\dfrac{bh}{2(h + b)}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja x a altura do retângulo. Como a base é o dobro da altura, DG = 2x.

Os lados DG e BC são paralelos, então o triângulo ADG é semelhante ao triângulo ABC. A altura de ADG em relação a DG é h - x, pois o retângulo ocupa a faixa de altura x junto à base.

Na semelhança, a razão entre as bases é igual à razão entre as alturas:

\frac{DG}{BC} = \frac{h - x}{h}

Substituindo os valores: \dfrac{2x}{b} = \dfrac{h - x}{h}.
Multiplicando em cruz: 2xh = b(h - x) = bh - bx.
Juntando os termos em x: 2xh + bx = bh.
Colocando x em evidência: x(2h + b) = bh.
Isolando: x = \dfrac{bh}{2h + b}.

Teste rápido: se h = b = 3, x = 9/9 = 1 e a base do retângulo é 2. A razão das bases é 2/3 e a das alturas é (3-1)/3 = 2/3. Confere.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas C e D diferem só em qual variável recebe o fator 2; quem troca h por b na proporção cai na C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACorresponde a um retângulo de base igual à altura (quadrado inscrito), ignorando o fator 2.
BAparece ao colocar o 2 no numerador, sem relação com a semelhança correta.
CTroca os coeficientes: põe o 2 multiplicando b em vez de h no denominador.
EColoca o 2 multiplicando toda a soma h+b, o que não decorre da proporção.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: FUVEST 2003. Prova oficial ↗