Questão 86 da FUVEST 2003

Question

No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se \text{OA} = 1, a abscissa x do ponto \text{B} = (x, y) vale:

Plano cartesiano com eixos x e y e uma linha poligonal que parte da origem 0 ao longo do eixo x até o ponto A, e em seguida espirala em ângulos retos para o interior em sentido anti-horário, finalizando no ponto B.

A
\frac{1-p^{12}}{1-p^4}
B
\frac{1-p^{12}}{1+p^2}
C
\frac{1-p^{16}}{1-p^2}
D
\frac{1-p^{16}}{1+p^2}
E
\frac{1-p^{20}}{1-p^4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 86 da FUVEST 2003

1ª fase · Matemática: Progressão geométrica

No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se \text{OA} = 1, a abscissa x do ponto \text{B} = (x, y) vale:

Plano cartesiano com eixos x e y e uma linha poligonal que parte da origem 0 ao longo do eixo x até o ponto A, e em seguida espirala em ângulos retos para o interior em sentido anti-horário, finalizando no ponto B.

A
\frac{1-p^{12}}{1-p^4}
B
\frac{1-p^{12}}{1+p^2}
C
\frac{1-p^{16}}{1-p^2}
D
\frac{1-p^{16}}{1+p^2}
E
\frac{1-p^{20}}{1-p^4}

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Resolução comentada

Os segmentos têm comprimentos 1, p, p^2, p^3, \dots e giram 90^\circ a cada vértice, na ordem: direita, cima, esquerda, baixo, e assim por diante.\n\nSó os segmentos horizontais mudam a abscissa. Eles são o 1º, 3º, 5º, ... segmentos, de comprimentos 1, p^2, p^4, p^6, \dots Os que vão para a direita contam com sinal + e os que vão para a esquerda, com sinal -. Assim:\n\n

x = 1 - p^2 + p^4 - p^6 + \dots

\n\nIsso é uma PG de primeiro termo 1 e razão -p^2.\n\nA figura mostra 4 voltas completas, ou seja, 16 segmentos. Metade deles é horizontal, então a PG tem 8 termos, do expoente 0 ao 14 (o último, -p^{14}, vai para a esquerda).\n\nSoma de uma PG finita: S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}. Com a_1=1, q=-p^2 e n=8:\n\n

x = \frac{1-(-p^2)^8}{1-(-p^2)} = \frac{1-p^{16}}{1+p^2}

\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa razão p^4 e 3 termos, ignorando a alternância de sinais da razão -p^2.
BTem o denominador 1+p^2 certo, mas o expoente 12 corresponde a 6 termos, e a figura tem 8 horizontais.
CUsa razão p^2 (sem o sinal negativo), o que dá denominador 1-p^2.
EExpoente 20 (10 termos) e denominador 1-p^4 não correspondem à soma alternada.

Assunto: Progressão geométrica.

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Fonte: FUVEST 2003. Prova oficial ↗