Questão 85 da FUVEST 2003

Cada sacola é um conjunto de 4 itens distintos, e a ordem não importa. Então usamos combinação. São 8 + 5 = 13 produtos no total.

O jeito mais simples é contar todas as sacolas possíveis e tirar as que não servem, isto é, as que não têm alimento ou não têm produto de limpeza.

1. Todas as sacolas de 4 itens entre 13:
   \binom{13}{4} = \frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{24} = 715
2. Sacolas só com produtos de limpeza (sem alimento):
   \binom{8}{4} = 70
3. Sacolas só com alimentos (sem produto de limpeza):
   \binom{5}{4} = 5
4. Sacolas válidas:
   715 - 70 - 5 = 640

Conferindo pelo outro caminho, separando por casos (limpeza + alimento):

• 1 + 3: 8\cdot\binom{5}{3} = 8\cdot10 = 80
• 2 + 2: \binom{8}{2}\cdot\binom{5}{2} = 28\cdot10 = 280
• 3 + 1: \binom{8}{3}\cdot5 = 56\cdot5 = 280

Soma: 80 + 280 + 280 = 640.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a contagem correta; provavelmente de um erro de casos ou de uso de arranjo.
• BResultado de contagem incompleta dos casos, omitindo parte das composições possíveis.
• CResultado de contagem incompleta dos casos, sem chegar ao total de 640.
• DTambém fica abaixo do total correto; falta contar parte das composições válidas.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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