Questão 84 da FUVEST 2003

Domínio. O logaritmo só existe para logaritmando positivo:

• 3x+4>0 \Rightarrow x>-\dfrac{4}{3}
• 2x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{2}

As duas condições valem juntas, então x>\dfrac{1}{2}.

Inequação. Pela propriedade da diferença de logaritmos de mesma base:

Como a base 3 é maior que 1, o logaritmo é crescente e a desigualdade se mantém nos logaritmandos:

No domínio, 2x-1>0, então podemos multiplicar os dois lados por 2x-1 sem inverter o sinal:

1. 3x+4>3(2x-1)
2. 3x+4>6x-3
3. 7>3x
4. x<\dfrac{7}{3}

Interseção com o domínio. Precisamos de x>\dfrac{1}{2} e x<\dfrac{7}{3}, ou seja:

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem resolve só a inequação e esquece de impor a condição de existência dos logaritmos.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AResolve a inequação, mas esquece de impor o domínio x>\frac{1}{2}.
• BConsidera só o domínio e ignora a condição f(x)>1.
• DUsa apenas a condição do primeiro logaritmo, x>-\frac{4}{3}, sem a do segundo.
• EIntervalo fora do domínio, pois x<\frac{1}{2} torna 2x-1 negativo.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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