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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 83 da FUVEST 2003

1ª fase · Matemática: Equação do 2º grau

As soluções da equação \frac{x - a}{x + a} + \frac{x + a}{x - a} = \frac{2\left(a^4 + 1\right)}{a^2\left(x^2 - a^2\right)}, onde a \neq 0, são:

  1. A
    \frac{-a}{2} e \frac{a}{4}
  2. B
    \frac{-a}{4} e \frac{a}{4}
  3. C
    \frac{-1}{2a} e \frac{1}{2a}
  4. D
    -\frac{1}{a} e \frac{1}{2a}
  5. E
    -\frac{1}{a} e \frac{1}{a}
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Resolução comentada

O denominador comum é x^2-a^2, com x\neq \pm a (esses valores zerariam denominadores).

  1. Some as frações do lado esquerdo:
\frac{(x-a)^2+(x+a)^2}{x^2-a^2}=\frac{2x^2+2a^2}{x^2-a^2}
  1. Iguale ao lado direito, que tem o mesmo denominador x^2-a^2 multiplicado por a^2 embaixo:
\frac{2x^2+2a^2}{x^2-a^2}=\frac{2(a^4+1)}{a^2(x^2-a^2)}
  1. Multiplique os dois lados por x^2-a^2 (que não é zero):
2x^2+2a^2=\frac{2(a^4+1)}{a^2}
  1. Divida por 2:
x^2+a^2=\frac{a^4+1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}
  1. Cancele a^2:
x^2=\frac{1}{a^2}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{a}
  1. Verifique a restrição: x=\pm\frac1a só seria igual a \pm a se a^2=1. Nesse caso a equação não teria solução, mas, para a geral, as soluções são -\frac1a e \frac1a.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValores sem relação com x^2=1/a^2; não resultam de nenhuma etapa correta da resolução.
  • BErra a simplificação e obtém a/4, que não satisfaz x^2=1/a^2.
  • CEsquece de cancelar o fator 2 corretamente e chega a x^2=1/(4a^2).
  • DAssimétrica: as raízes de x^2=1/a^2 são opostas, então 1/(2a) não serve.

Assuntos: Equação do 2º grau, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Ver como caiu na prova Questão 83 no caderno V da FUVEST 2003

Fonte: FUVEST 2003. Prova oficial ↗