Questão 82 da FUVEST 2003

Question

No segmento \overline{\text{AC}}, toma-se um ponto B de forma que \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = 2\frac{\text{BC}}{\text{AB}}. Então, o valor de \frac{\text{BC}}{\text{AB}} é:

A
\frac{1}{2}
B
\frac{\sqrt{3}-1}{2}
C
\sqrt{5}-1
D
\frac{\sqrt{5}-1}{2}
E
\frac{\sqrt{5}-1}{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 82 da FUVEST 2003

1ª fase · Matemática: Equação do 2º grau

No segmento \overline{\text{AC}}, toma-se um ponto B de forma que \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = 2\frac{\text{BC}}{\text{AB}}. Então, o valor de \frac{\text{BC}}{\text{AB}} é:

A
\frac{1}{2}
B
\frac{\sqrt{3}-1}{2}
C
\sqrt{5}-1
D
\frac{\sqrt{5}-1}{2}
E
\frac{\sqrt{5}-1}{3}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como B está no segmento AC, temos AC = AB + BC. Para simplificar, chame AB = a e BC = b, de modo que AC = a + b.

A condição do enunciado é \frac{AB}{AC} = 2\,\frac{BC}{AB}, ou seja:

\frac{a}{a+b} = \frac{2b}{a}

O que se pede é x = \frac{b}{a}. Vamos escrever tudo em função de x.

Multiplicando em cruz: a^2 = 2b(a+b) = 2ab + 2b^2.
Dividindo tudo por a^2: 1 = 2x + 2x^2.
Arrumando: 2x^2 + 2x - 1 = 0.
Fórmula de Bhaskara: \Delta = 4 + 8 = 12, logo

x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}

Como x é razão entre comprimentos, deve ser positivo, então fica a raiz com sinal de mais:

x = \frac{\sqrt{3}-1}{2}

Conferindo: x \approx 0{,}366; então 2x + 2x^2 \approx 0{,}732 + 0{,}268 = 1. Está correto.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana por lembrar a razão áurea, típica de problemas com segmentos, mas o fator 2 na condição muda a equação e o resultado.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor \frac12 não satisfaz a equação: 2x+2x^2 = 1{,}5 \neq 1.
C\sqrt5-1\approx1{,}24 não é raiz de 2x^2+2x-1=0; vem de confundir com a razão áurea.
DÉ a razão áurea, que surgiria se a condição fosse AB^2 = AC\cdot BC, sem o fator 2.
ENão é raiz da equação; resulta de manipulação incorreta da fórmula de Bhaskara.

Assuntos: Equação do 2º grau, Razão e proporção.

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Fonte: FUVEST 2003. Prova oficial ↗