Questão 55 (2º exame) da FUVEST 2002

Question

Na figura ao lado, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio \text{AB} = \text{AC} = \text{AD} = \text{R}.

A diagonal \overline{\text{AC}} forma com os lados \overline{\text{BC}} e \overline{\text{AD}} ângulos \alpha e \beta, respectivamente.
Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

Semi-circunferência de centro A com pontos D, C e B na borda circular, formando o quadrilátero ABCD. Os segmentos AB, AC e AD partem do centro A, tendo raio R indicado em AB. O ângulo no vértice C entre BC e AC mede alfa, e o ângulo no vértice A entre AD e AC mede beta.

A
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen 2\alpha + \sen\beta)
B
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen \alpha + \sen 2\beta)
C
\frac{\text{R}^2}{2} (\cos 2\alpha + \sen 2\beta)
D
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen \alpha + \cos\beta)
E
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen 2\alpha + \cos\beta)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 (2º exame) da FUVEST 2002

2º exame · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Na figura ao lado, o quadrilátero ABCD está inscrito numa semi-circunferência de centro A e raio \text{AB} = \text{AC} = \text{AD} = \text{R}.

A diagonal \overline{\text{AC}} forma com os lados \overline{\text{BC}} e \overline{\text{AD}} ângulos \alpha e \beta, respectivamente.
Logo, a área do quadrilátero ABCD é:

Semi-circunferência de centro A com pontos D, C e B na borda circular, formando o quadrilátero ABCD. Os segmentos AB, AC e AD partem do centro A, tendo raio R indicado em AB. O ângulo no vértice C entre BC e AC mede alfa, e o ângulo no vértice A entre AD e AC mede beta.

A
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen 2\alpha + \sen\beta)
B
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen \alpha + \sen 2\beta)
C
\frac{\text{R}^2}{2} (\cos 2\alpha + \sen 2\beta)
D
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen \alpha + \cos\beta)
E
\frac{\text{R}^2}{2} (\sen 2\alpha + \cos\beta)

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Resolução comentada

O quadrilátero ABCD se divide pela diagonal AC em dois triângulos, ACD e ABC. Os dois são isósceles, pois AB = AC = AD = R.

Triângulo ACD: tem lados AC = AD = R e ângulo \beta entre eles. Sua área é

S_1=\frac{1}{2}R\cdot R\,\sen\beta=\frac{R^2}{2}\sen\beta.
Triângulo ABC: tem AB = AC, então os ângulos da base são iguais, \hat{C}=\hat{B}=\alpha. O ângulo no vértice A vale 180^\circ-2\alpha. Sua área é

S_2=\frac{1}{2}R\cdot R\,\sen(180^\circ-2\alpha)=\frac{R^2}{2}\sen 2\alpha,

pois \sen(180^\circ-x)=\sen x.
Somando as áreas:

S=S_1+S_2=\frac{R^2}{2}(\sen 2\alpha+\sen\beta).

Usamos a fórmula da área de um triângulo como metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BTroca os argumentos: usa \sen\alpha e \sen 2\beta, mas o ângulo central do triângulo ABC é 180^\circ-2\alpha e o do ACD é \beta.
CUsa \cos 2\alpha e \sen 2\beta, sem relação com os ângulos centrais dos triângulos.
DEsquece o dobro de \alpha e troca \sen\beta por \cos\beta.
EAcerta o triângulo ABC, mas usa \cos\beta em vez de \sen\beta no triângulo ACD.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: FUVEST 2002 · 2º exame. Prova oficial ↗