Questão 54 (2º exame) da FUVEST 2002

Fatorando, p(x)=x^2(x-1)(x-2)(x+2). As raízes de p são 0 (dupla), 1, 2 e -2. O grau é 5 e o coeficiente líder é positivo.

O gráfico de y=p(x-2) é o de p deslocado 2 unidades para a direita. Então:

1. Raízes de p(x-2): x-2=0\Rightarrow x=2 (dupla, o gráfico apenas toca o eixo); x-2=1\Rightarrow x=3; x-2=2\Rightarrow x=4; x-2=-2\Rightarrow x=0.
2. Comportamento nas extremidades: grau 5 com coeficiente positivo, então y\to+\infty quando x\to+\infty e y\to-\infty quando x\to-\infty.
3. Sinais: para x>4, y>0. Entre 3 e 4, y<0 (raiz simples em 4). Entre 2 e 3, y>0 (raiz simples em 3). Em x=2 a raiz é dupla, então não há troca de sinal: entre 0 e 2, y>0. Antes de 0, y<0.

Procuramos, então, um gráfico com raízes em 0, 2, 3, 4, tocando o eixo em 2, começando negativo à esquerda de 0, positivo entre 0 e 3 (com toque em 2), negativo entre 3 e 4 e subindo depois de 4.

O gráfico (a) tem exatamente esse comportamento: cruza em 0 vindo de baixo, sobe, toca o eixo em 2, fica positivo até 3, fica negativo entre 3 e 4 e depois sobe. Os demais falham: (b) e (d) terminam descendo à direita; (c) e (e) têm raízes em posições erradas.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana quem desloca o gráfico para a esquerda, achando que x−2 move no sentido negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BTermina com y tendendo a menos infinito à direita e começa positivo à esquerda, contrariando o grau 5 com coeficiente positivo.
• CTem raízes em −2 e cerca de 1,7, como se fosse deslocamento em outro sentido ou outra função; não tem raiz em 0.
• DTermina descendo à direita (y negativo para x grande), incompatível com coeficiente líder positivo, e o sinal entre 2 e 3 está trocado.
• EDeslocou o gráfico 2 unidades para a esquerda (raízes em −4, −2, −1, 0) em vez de para a direita.

Assuntos: Conceito de função, composta e inversa, Polinômios.

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