Questão 44 (2º exame) da FUVEST 2002

Pelo enunciado, f(a) = 4f(b). Vamos escrever os dois lados como potências de base 2.

1. Substituindo a função: 2^{2a+1} = 4\cdot 2^{2b+1}.

2. Como 4 = 2^2, o lado direito fica 2^2\cdot 2^{2b+1}. Na multiplicação de potências de mesma base, somamos os expoentes: 2^{2b+3}.

3. Agora temos 2^{2a+1} = 2^{2b+3}.

4. A função exponencial de base 2 é injetora: potências de mesma base são iguais só se os expoentes forem iguais. Logo 2a+1 = 2b+3.

5. Isolando: 2a - 2b = 2, ou seja, a - b = 1.

Verificação: com b=0, f(b)=2 e 4f(b)=8. Com a=1, f(a)=2^3=8. Confere, pois a-b=1.

Note que a condição fixa só a diferença entre a e b, não a soma. Por isso as alternativas com a+b não podem ser afirmadas.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AA condição dá apenas a diferença entre a e b; a soma não é determinada (por exemplo, a=1,b=0 dá soma 1).
• BEmbora valha para a=1,b=0, a soma não é fixada: a=2,b=1 também satisfaz e dá soma 3.
• CEsquece de converter o 4 em 2^2 corretamente, obtendo uma diferença maior que a real.
• DUsa 2a+1=2b+2 (trata 4 como 2^1) ou erra ao dividir por 2, chegando a diferença 2.

Assunto: Função exponencial.

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