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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 57 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura abaixo, tem-se que \text{AD} = \text{AE}, \text{CD} = \text{CF} e \text{BA} = \text{BC}. Se o ângulo \text{E}\hat{\text{D}}\text{F} mede 80^\circ, então o ângulo \text{A}\hat{\text{B}}\text{C} mede:

Triângulo ABC com vértice B no topo, base AC horizontal. O ponto E está sobre o lado AB, F sobre o lado BC e D sobre a base AC. Estão traçados os segmentos ED e DF, formando o ângulo EDF indicado com medida de 80°.

  1. A
    20^\circ
  2. B
    30^\circ
  3. C
    50^\circ
  4. D
    60^\circ
  5. E
    90^\circ
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Resolução comentada

Use que, em triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais, e que a soma dos ângulos internos é 180^\circ.

Seja \alpha = \text{B}\hat{\text{A}}\text{C}. Como \text{BA}=\text{BC}, o triângulo ABC é isósceles de base AC, então \text{B}\hat{\text{C}}\text{A}=\alpha também.

  1. No triângulo ADE, \text{AD}=\text{AE}, então os ângulos em D e em E são iguais. Como o ângulo em A vale \alpha, cada um mede \dfrac{180^\circ-\alpha}{2}.

  2. No triângulo CDF, \text{CD}=\text{CF}, então o ângulo em C vale \alpha e os ângulos em D e em F medem \dfrac{180^\circ-\alpha}{2}.

  3. Em D, sobre a reta AC, os três ângulos somam 180^\circ:

\frac{180^\circ-\alpha}{2}+80^\circ+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=180^\circ

  1. Simplificando: 180^\circ-\alpha+80^\circ=180^\circ, logo \alpha=80^\circ.

  2. No triângulo ABC, os ângulos da base somam 2\alpha=160^\circ, então:

\text{A}\hat{\text{B}}\text{C}=180^\circ-160^\circ=20^\circ

Alternativa A.

Pegadinha: Quem para em \alpha=80^\circ pode marcar esse valor, mas ele é o ângulo da base; o pedido é o ângulo do vértice B, 20^\circ (o 80^\circ nem aparece entre as alternativas).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Bnão corresponde a nenhuma etapa correta; o ângulo da base é 80^\circ, o que dá 20^\circ no vértice.
  • Cconfunde o ângulo do vértice com um dos ângulos em D, ou com 180^\circ-130^\circ, sem resolver a equação.
  • Dsupõe o triângulo equilátero, o que contradiz o ângulo de 80^\circ em D.
  • Esem fundamento: ignora que os ângulos da base valem 80^\circ cada.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Ver como caiu na prova Questão 57 no caderno T da FUVEST 2001

Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗