Questão 56 (2º exame) da FUVEST 2001

Como os coeficientes são reais, se 1+i é raiz, então seu conjugado 1-i também é raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por

Agora dividimos x^4 + x^2 - 2x + 6 por x^2 - 2x + 2:

1. x^4 \div x^2 = x^2. Multiplicando: x^4 - 2x^3 + 2x^2. Subtraindo, sobra 2x^3 - x^2 - 2x + 6.
2. 2x^3 \div x^2 = 2x. Multiplicando: 2x^3 - 4x^2 + 4x. Subtraindo, sobra 3x^2 - 6x + 6.
3. 3x^2 \div x^2 = 3. Multiplicando: 3x^2 - 6x + 6. Subtraindo, sobra 0.

Logo, o quociente é x^2 + 2x + 3, e o polinômio é (x^2-2x+2)(x^2+2x+3).

O segundo fator tem discriminante

então suas raízes não são reais. O primeiro fator tem raízes 1\pm i, também não reais.

Portanto, as quatro raízes são complexas não reais e o polinômio não tem raiz real.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BNão há raiz real isolada: as raízes complexas não reais vêm em pares conjugados e as quatro são não reais.
• CSupõe que só o par 1\pm i é complexo, mas o outro fator x^2+2x+3 tem \Delta<0.
• DNúmero ímpar de raízes reais é incompatível com grau 4 e um par conjugado não real; além disso nenhuma raiz é real.
• EIgnora que 1+i é raiz, que não é real; o polinômio não pode ter as 4 raízes reais.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Polinômios.

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