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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Função quadrática

A função f(x), definida para -3 \le x \le 3, tem o seguinte gráfico:

Gráfico da função f(x) no plano cartesiano com domínio de -3 a 3. De x = -1 a x = 1, o gráfico é formado por dois segmentos de reta com vértice em (0,2) e cruzando o eixo x em (-1,0) e (1,0). Nos intervalos de [-3, -1] e [1, 3], a curva é ondulada, atingindo valor máximo 1 em x = -2,5 e x = 2,5, e valor mínimo -1 em x = -1,5 e x = 1,5, passando pelos pontos (-2,0) e (2,0) e terminando em (-3,0) e (3,0).

onde as linhas ligando (-1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta.
Supondo a \le 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a(x^2 - 4) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente 4 pontos distintos?

  1. A
    -\frac{1}{2} < a < 0
  2. B
    -1 < a < -\frac{1}{2}
  3. C
    -\frac{3}{2} < a < -1
  4. D
    -2 < a < -\frac{3}{2}
  5. E
    a < -2
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Resolução comentada

O polinômio p(x)=a(x^2-4) é uma parábola simétrica em relação ao eixo y, com raízes \pm 2 e p(0)=-4a. Como a\le 0, a concavidade é para cima e o vértice fica em (0,-4a), com -4a\ge 0. Por causa da simetria, de f e de p, os pontos de interseção aparecem em pares (x,-x). Para ter 4 pontos, precisamos de exatamente 2 interseções com x>0.

Para a=0, p=0 e o gráfico coincide com o eixo x em infinitos pontos. Logo a<0.

Análise para x\ge 0: p passa por (2,0), que também está em f. Esse é um ponto de interseção em todos os casos, e o simétrico é (-2,0). Faltam outros 2 pontos, um em cada lado.

  1. Em x=0: p(0)=-4a e f(0)=2. Se -4a>2, ou seja, a<-\frac12, a parábola começa acima de f.
  2. Em x=1: p(1)=-3a e f(1)=0. Como -3a>0, a parábola ainda está acima de f.
  3. Em x=1{,}5, f=-1 e p(1{,}5)=a(2{,}25-4)=-1{,}75a>0: acima.
  4. Em x=2 ambos valem 0 e a parábola cruza f ali. Depois de 2, p>0 cresce para x>2? Não: para |x|<2 vale x^2-4<0, logo p>0 quando a<0; para x>2, p<0.

Para x\in(2,3], p é negativa e f oscila entre 0 e 1 (positiva até x=3). Assim, só há interseção em x=2 e eventualmente em x=3? f(3)=0 e p(3)=5a<0, então não.

Ficam as interseções em [0,2): p>0 e f ali só é positiva em [0,1), onde f=2-2x. Resolvendo a(x^2-4)=2-2x, temos ax^2+2x-4a-2=0. Para a\in(-\frac12,0), p(0)<2, então há um cruzamento em [0,1), perto de x=0 até x=1. Total em x>0: um ponto, mais x=2. Isso dá 4 pontos com os simétricos.

Para a<-\frac12, p(0)>2 e p>f em [0,1), então não há interseção ali: só restam 2 pontos.

Portanto, -\frac12<a<0.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNesse intervalo p(0)=-4a>2, a parábola fica acima do pico de f e só cruza em x=\pm2.
  • CCom a<-1 a parábola passa bem acima de f e só toca em \pm2.
  • DValores muito negativos deixam p acima de f em toda a região central, sem os cruzamentos extras.
  • EIdem: parábola muito alta, apenas 2 interseções.

Assunto: Função quadrática.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗