Questão 48 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

Duas esferas de tamanhos distintos apoiadas sobre um plano horizontal e tangentes entre si; a esfera maior toca o plano no ponto A e a menor no ponto B.

A
8
B
6\sqrt{2}
C
8\sqrt{2}
D
4\sqrt{3}
E
6\sqrt{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

Duas esferas de tamanhos distintos apoiadas sobre um plano horizontal e tangentes entre si; a esfera maior toca o plano no ponto A e a menor no ponto B.

A
8
B
6\sqrt{2}
C
8\sqrt{2}
D
4\sqrt{3}
E
6\sqrt{3}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Como as esferas estão apoiadas no plano e encostadas uma na outra, os centros O_1 (bola maior) e O_2 (bola menor) ficam a uma distância igual à soma dos raios: O_1O_2 = 8 + 4 = 12.

Os pontos A e B são os pés das perpendiculares baixadas dos centros ao plano. Então O_1A = 8 e O_2B = 4, e as duas são perpendiculares ao plano.

O quadrilátero O_1O_2BA é um trapézio retângulo com AB como um dos lados. Para achar AB, traçamos por O_2 uma paralela a AB, que corta O_1A em um ponto P. Formamos um triângulo retângulo O_1PO_2:

Hipotenusa: O_1O_2 = 12.
Cateto vertical: O_1P = 8 - 4 = 4.
Cateto horizontal: PO_2 = AB.

Pelo teorema de Pitágoras:

AB^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128

AB = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas o valor do raio maior, sem relação geométrica com a distância pedida.
BResultado de conta incorreta; \sqrt{72} não vem de 12^2-4^2.
DSeria o caso de usar cateto 8 e hipotenusa 8 ou outra relação errada; não corresponde ao triângulo 4, 12.
ECorresponde a \sqrt{108}=\sqrt{144-36}, usando cateto 6 em vez de 4.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Esfera.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗