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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se \text{EP} = 1, então a é:

Dois quadrados ABCD e EFGH com o mesmo centro O. O quadrado ABCD tem lados horizontais e verticais, enquanto o quadrado EFGH tem vértices E, F, G e H alinhados aos eixos das diagonais (losango). As diagonais tracejadas FH e EG cruzam-se em O. A diagonal horizontal EG intercepta o lado AD de ABCD no ponto P, formando um ângulo reto e definindo o segmento EP com comprimento 1.

  1. A
    \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}
  2. B
    \dfrac{2}{\sqrt{3} - 1}
  3. C
    \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  4. D
    2
  5. E
    \dfrac{2}{\sqrt{2} - 1}
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Resolução comentada

Os dois quadrados têm o mesmo centro O e o mesmo lado a.

  1. A distância de O ao lado AD (o apótema do quadrado ABCD) é \dfrac{a}{2}. Como EG é horizontal e perpendicular a AD em P, temos OP = \dfrac{a}{2}.

  2. O quadrado EFGH tem lado a, então sua diagonal mede a\sqrt{2}. Logo OE, que é metade da diagonal, vale OE = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}.

  3. Na reta EG, o ponto P está entre E e O, então OE = OP + EP:

\dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a}{2} + 1
  1. Multiplicando tudo por 2:
a\sqrt{2} = a + 2 \Rightarrow a(\sqrt{2} - 1) = 2
  1. Isolando a:
a = \dfrac{2}{\sqrt{2} - 1}

Conferindo: \sqrt{2}-1 \approx 0{,}414, então a \approx 4{,}83. Nesse caso OE \approx 3{,}41 e OP \approx 2{,}41, e a diferença é 1, como no enunciado.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AParece vir de a\sqrt{2}-a=\sqrt{2}, ou seja, trata o 2 do segundo membro como \sqrt{2}; o correto é a(\sqrt{2}-1)=2.
  • BUsa \sqrt{3}, que não aparece: as diagonais de quadrados envolvem \sqrt{2}.
  • CÉ OE com a=1; ignora a condição EP=1.
  • DValor 'redondo' sem base; com a=2, OE-OP=\sqrt{2}-1\neq 1.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Ver como caiu na prova Questão 42 no caderno T da FUVEST 2001

Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗