Questão 41 (2º exame) da FUVEST 2001

A ideia é usar o ângulo que cada reta AB e AC forma com o eixo x, pois o ângulo BAC é a diferença entre eles.

1. A reta AB passa por A=(1,0) e B=(0,1). Seu coeficiente angular é m_{AB}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1.
2. A reta AC passa por A=(1,0) e C=(0,\sqrt{3}). Seu coeficiente angular é m_{AC}=\dfrac{\sqrt{3}-0}{0-1}=-\sqrt{3}.
3. O coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação. Como \tg\alpha=-1, temos \alpha=135^\circ. Como \tg\beta=-\sqrt{3}, temos \beta=120^\circ.
4. O ângulo entre as retas em A é a diferença: 135^\circ-120^\circ=15^\circ.

Conferindo pela fórmula da tangente do ângulo entre retas:

E \tg 15^\circ=2-\sqrt{3}, o que confirma o resultado.

Outra forma de ver: no triângulo, AB faz 45^\circ com o eixo y e AC faz 60^\circ com o eixo y (pois \tg=1/\sqrt3 no triângulo AOC dá 30^\circ com o eixo x, ou seja, 60^\circ com o eixo y). A diferença também é 15^\circ.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A60^\circ é o ângulo de AC com o eixo y (ou de OAC no triângulo AOC), não a diferença entre as duas retas.
• B45^\circ é a inclinação da reta AB em relação aos eixos, ignorando a reta AC.
• C30^\circ é o ângulo OCA, ou a inclinação de AC com o eixo x; não é o ângulo em A entre AB e AC.
• D18^\circ não corresponde a nenhum ângulo da configuração; é valor sem base no cálculo.

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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