Questão 58 (2º exame) da FUVEST 2000

A ideia é dividir o quadrilátero em quatro triângulos que têm o vértice comum E, e usar a fórmula da área com seno: a área de um triângulo com dois lados a e b e ângulo \alpha entre eles é \frac{1}{2}ab\,\sen\alpha.

As diagonais se cruzam em E e formam ângulos \theta (entre EB e EC) e 180^\circ-\theta (entre EB e EA). Como \sen(180^\circ-\theta)=\sen\theta, os quatro triângulos têm ângulo com seno igual a \sen\theta.

1. \triangle BEC: \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3\,\sen\theta = 6\,\sen\theta
2. \triangle CED: \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\,\sen\theta = 3\,\sen\theta
3. \triangle DEA: \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\,\sen\theta = 1\,\sen\theta
4. \triangle AEB: \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4\,\sen\theta = 2\,\sen\theta

Somando:

Conferindo: S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\,\sen\theta=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\,\sen\theta=12\,\sen\theta.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas D e E trocam seno por cosseno, enganando quem não lembra que a área do triângulo usa o seno do ângulo.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BSoma apenas parte dos triângulos (por exemplo, esquece um deles ou erra um produto), chegando a 8\sen\theta.
• CConsidera só a área do triângulo BEC, que vale 6\sen\theta.
• DUsa cosseno em vez de seno; a fórmula da área envolve o seno do ângulo entre os lados.
• EUsa cosseno e valor numérico incorreto; a área não depende de \cos\theta.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Áreas e perímetros de polígonos.

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