Questão 59 (2º exame) da FUVEST 2000

A condição do enunciado é 2\sen\theta = 3\tg^2\theta.

Como \tg\theta = \dfrac{\sen\theta}{\cos\theta}, substituímos:

1. 2\sen\theta = 3\cdot\dfrac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}
2. Como 0<\theta<\frac{\pi}{2}, temos \sen\theta \neq 0, então podemos dividir os dois lados por \sen\theta: 2 = \dfrac{3\sen\theta}{\cos^2\theta}.
3. Logo 2\cos^2\theta = 3\sen\theta.
4. Usando \cos^2\theta = 1-\sen^2\theta: 2 - 2\sen^2\theta = 3\sen\theta, ou seja, 2\sen^2\theta + 3\sen\theta - 2 = 0.
5. Sendo x=\sen\theta: x = \dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} = \dfrac{-3\pm 5}{4}, que dá x=\frac12 ou x=-2.

Como \sen\theta está entre 0 e 1 no primeiro quadrante, \sen\theta=\frac12.

Então \cos^2\theta = 1-\frac14=\frac34, e como o cosseno é positivo no primeiro quadrante, \cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}.

Conferindo: \tg\theta=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}, \tg^2\theta=\frac13, 3\tg^2\theta=1=2\cdot\frac12. ✓

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para ao achar \sen\theta=\frac12 e esquece que a pergunta é pelo cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a equação; não satisfaz a condição dada.
• CCorresponde a \theta=45^\circ, que dá 2\sen\theta=\sqrt2 e 3\tg^2\theta=3, diferentes.
• DÉ o valor do seno encontrado (\frac12), não do cosseno.
• EValor de \cos\theta que não satisfaz a equação; com ele \sen\theta=\frac{\sqrt6}{3} e os dois lados diferem.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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