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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 60 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Função afim

  • Considere, na figura abaixo, a área A(x) da região interior à figura formada pelos 3 quadrados e compreendida entre o eixo 0y e a reta vertical passando pelo ponto (x,0).

Três quadrados adjacentes sobre o eixo horizontal x: o primeiro no intervalo de 0 a 1 com altura 1; o segundo no intervalo de 1 a 3 com altura 2; e o terceiro no intervalo de 3 a 4 com altura 1. Uma reta vertical pontilhada passa pela coordenada x entre 1 e 2, com a área correspondente preenchida em azul desde o eixo vertical y até x.

Então o gráfico da função y = A(x), para 0 \le x \le 4, é:

  1. A
    Gráfico curvilíneo que passa por (0,0), (1,1), (3,5) e (4,6), formado por curvas suaves em vez de segmentos de reta.
  2. B
    Gráfico com segmentos de reta de (0,0) a (1,1), de (1,1) a (3,5), e depois decrescente de (3,5) a (4,4).
  3. C
    Gráfico em degraus com segmentos horizontais constantes: y = 1 de x = 0 a 1; y = 5 de x = 1 a 3; e y = 6 de x = 3 a 4.
  4. D
    Gráfico com três segmentos de reta: o primeiro de (0,0) a (1,1) com inclinação 1; o segundo de (1,1) a (3,5) com inclinação 2; e o terceiro de (3,5) a (4,6) com inclinação 1.
  5. E
    Gráfico com segmento de reta de (0,0) a (1,1), curva não linear de (1,1) a (3,5), e segmento de reta de (3,5) a (4,6).
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Resolução comentada

A área A(x) é a área acumulada da figura desde o eixo y até a reta vertical em x. Como a altura da figura é constante em cada trecho, A(x) é a área de retângulos, e basta calcular trecho por trecho.

  1. Para 0 \le x \le 1: a altura é 1, então A(x) = 1\cdot x = x. Vai de A(0)=0 a A(1)=1, com inclinação 1.
  2. Para 1 \le x \le 3: a altura é 2. Ao primeiro quadrado (área 1) soma-se um retângulo de base x-1 e altura 2, logo A(x) = 1 + 2(x-1) = 2x - 1. Então A(3) = 5, com inclinação 2.
  3. Para 3 \le x \le 4: a altura é 1, então A(x) = 5 + 1\cdot(x-3) = x + 2. Então A(4) = 6, com inclinação 1.

Os três trechos são retas, sem curvas, e a função é crescente e contínua. O gráfico liga (0,0), (1,1), (3,5) e (4,6) por segmentos de reta, com inclinações 1, 2 e 1. É o que mostra o gráfico da alternativa D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • APassa pelos pontos certos, mas com curvas; como a altura é constante em cada trecho, a área cresce linearmente.
  • BFaz a área diminuir no último trecho, mas a área acumulada nunca decresce; ela sobe de 5 a 6.
  • CConfunde área acumulada com valores constantes em degraus; a área varia continuamente com x.
  • ETrata o trecho entre 1 e 3 como curva, mas aí a área é 2x-1, uma reta.

Assuntos: Função afim, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 60 no caderno T da FUVEST 1999

Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗