Questão 59 (2º exame) da FUVEST 1999

Se a e -a são raízes, ambas anulam o polinômio P(x)=8x^3+kx^2-18x+9. Vamos usar isso de duas formas.

1. Substituindo x=a e x=-a:
   

   8a^3+ka^2-18a+9=0
   
   
   -8a^3+ka^2+18a+9=0

2. Somando as duas equações, os termos ímpares se cancelam:
   

   2ka^2+18=0 \Rightarrow ka^2=-9

3. Subtraindo (primeira menos segunda), os termos pares se cancelam:
   

   16a^3-36a=0 \Rightarrow 4a(4a^2-9)=0

Como a=0 daria ka^2=0\neq -9, temos a^2=\frac{9}{4}.

4. Então:
   
   k\cdot\frac{9}{4}=-9 \Rightarrow k=-4

Conferência pelas relações de Girard: sendo r a terceira raiz, a soma das raízes é a+(-a)+r=-\frac{k}{8}, ou seja, r=-\frac{k}{8}. O produto é -a^2r=-\frac{9}{8}, logo a^2r=\frac{9}{8}. Com a^2=\frac94, r=\frac12, e então k=-8r=-4. Os dois caminhos concordam.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa a^2=\frac94 mas esquece o sinal e a relação ka^2=-9, tomando o valor de a^2 como se fosse k.
• BNão decorre de nenhuma relação do problema; é um valor aleatório que não satisfaz ka^2=-9.
• CConfunde com o produto das raízes \frac{9}{8} (em módulo), sem resolver para k.
• DErra a relação entre soma das raízes e k, obtendo r=\frac14 em vez de \frac12.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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