Questão 58 (2º exame) da FUVEST 1999

Compare os gráficos de f(x)=2^x e g(x)=-3x+2.

f é crescente e sempre positiva. g é uma reta decrescente (coeficiente -3). Uma função crescente e uma decrescente se cruzam no máximo uma vez, então há no máximo uma solução. Falta saber se existe e onde.

Defina h(x)=2^x-(-3x+2)=2^x+3x-2, que é contínua e crescente. Teste os extremos do intervalo da alternativa B:

1. Em x=0: h(0)=2^0+0-2=-1<0.
2. Em x=\frac{2}{3}: h\left(\frac{2}{3}\right)=2^{2/3}+2-2=2^{2/3}>0.

Como h muda de sinal entre 0 e \frac{2}{3} e é crescente, existe exatamente uma raiz nesse intervalo, ou seja, uma única solução positiva.

Conferindo a alternativa C: para x<0, h(x)<h(0)=-1<0, então não há raiz negativa. Por isso C e D ficam descartadas.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExiste raiz, pois h(0)<0 e h(2/3)>0, e a função contínua muda de sinal.
• CPara x<0, 2^x+3x-2<-1<0, logo não há raiz negativa.
• DFunção crescente contra reta decrescente se cruzam no máximo uma vez, então não há duas soluções.
• Ex

Assunto: Função exponencial.

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