Questão 55 (2º exame) da FUVEST 1999

Question

– Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento \overline{\text{CD}}, para que \text{C}\hat{\text{E}}\text{A} = \text{D}\hat{\text{E}}\text{B} ?

Reta r com os pontos C, E e D. Segmento AC de comprimento 2 perpendicular a r em C, e segmento BD de comprimento 4 perpendicular a r em D.

A
3
B
4
C
5
D
6
E
7

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento \overline{\text{CD}}, para que \text{C}\hat{\text{E}}\text{A} = \text{D}\hat{\text{E}}\text{B} ?

Reta r com os pontos C, E e D. Segmento AC de comprimento 2 perpendicular a r em C, e segmento BD de comprimento 4 perpendicular a r em D.

A
3
B
4
C
5
D
6
E
7

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Chame de x a distância CE. Então ED = 9 - x.

Os triângulos ACE e BDE são retângulos (em C e em D) e têm ângulos agudos iguais em E, pois \text{C}\hat{\text{E}}\text{A} = \text{D}\hat{\text{E}}\text{B}. Logo, são semelhantes (caso AA).

Na semelhança, os lados correspondentes são proporcionais: o cateto oposto ao ângulo em E está para o cateto adjacente em um triângulo como no outro.

Triângulo ACE: cateto oposto AC = 2 e cateto adjacente CE = x.
Triângulo BDE: cateto oposto BD = 4 e cateto adjacente DE = 9 - x.
Proporção:

\frac{2}{x} = \frac{4}{9-x}

Multiplicando em cruz: 2(9 - x) = 4x, ou seja, 18 - 2x = 4x.
Então 6x = 18 e x = 3.

Conferindo: ED = 6, e 2/3 = 4/6. Está correto.

Outra forma de ver: a distância 9 se divide na razão 2:4, ou seja, 1:2, e o ponto E fica mais perto de C, a \frac{1}{3} de 9, que é 3.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D (6) engana quem acha a distância ED em vez de CE, ou inverte a proporção.

Por que as outras alternativas estão erradas

BNão resulta de nenhuma proporção correta; não satisfaz 2/x = 4/(9-x).
CNão satisfaz a proporção; com x=5 teríamos 2/5 \neq 4/4.
DÉ a distância ED, não CE; troca a razão e coloca E mais perto de D.
ENão satisfaz a proporção; com x=7 teríamos 2/7 \neq 4/2.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗