Questão 54 (2º exame) da FUVEST 1999

Question

Num triângulo retângulo ABC, seja D um ponto da hipotenusa \overline{\text{AC}} tal que os ângulos \text{D}\hat{\text{A}}\text{B} e \text{A}\hat{\text{B}}\text{D} tenham a mesma medida.

Então o valor de \frac{\text{AD}}{\text{DC}} é:

A
\sqrt{2}
B
\frac{1}{\sqrt{2}}
C
2
D
\frac{1}{2}
E
1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Num triângulo retângulo ABC, seja D um ponto da hipotenusa \overline{\text{AC}} tal que os ângulos \text{D}\hat{\text{A}}\text{B} e \text{A}\hat{\text{B}}\text{D} tenham a mesma medida.

Então o valor de \frac{\text{AD}}{\text{DC}} é:

A
\sqrt{2}
B
\frac{1}{\sqrt{2}}
C
2
D
\frac{1}{2}
E
1

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Resolução comentada

Como o triângulo é retângulo e AC é a hipotenusa, o ângulo reto está em B. Chame de \alpha os ângulos D\hat{A}B e A\hat{B}D, que são iguais.

No triângulo ABD, os ângulos em A e em B são iguais. Logo ele é isósceles, com DA = DB.
O ângulo em B do triângulo ABC é reto: A\hat{B}D + D\hat{B}C = 90^\circ. Então D\hat{B}C = 90^\circ - \alpha.
No triângulo ABC, os ângulos agudos somam 90^\circ. Como B\hat{A}C = \alpha, temos B\hat{C}A = 90^\circ - \alpha.
No triângulo DBC, os ângulos em B e em C são ambos 90^\circ - \alpha. Ele é isósceles, com DB = DC.
Juntando: AD = DB = DC. Ou seja, D é o ponto médio da hipotenusa, o que concorda com a propriedade de que a mediana relativa à hipotenusa mede metade dela.

Portanto:

\frac{AD}{DC} = 1

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConfunde com a razão entre cateto e hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles; nada indica \sqrt{2} aqui.
BInverso da anterior, também sem relação com o fato de D ser equidistante de A, B e C.
CSupõe AD o dobro de DC, ignorando que DB = DC e DB = DA.
DSupõe DC o dobro de AD; confunde AD com a metade da hipotenusa inteira (AD/AC).

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗