Questão 53 (2º exame) da FUVEST 1999

Como o vértice do quadrado maior está sobre o centro C do menor, a região hachurada é limitada por dois lados do quadrado maior (perpendiculares entre si, saindo de C) e por dois lados do quadrado menor. Isso lembra o clássico problema do quadrado girando em torno do centro de outro.

A ideia é que a área comum não depende do giro. Se o ângulo reto de vértice C girar, a região hachurada muda de forma, mas a área não muda: ela sempre vale \frac{1}{4} da área do quadrado menor.

Por que isso vale? Os quatro quadrantes em torno de C, determinados pelas perpendiculares que passam por C, são congruentes por rotação de 90^\circ em torno de C. O ângulo reto do quadrado maior sempre recorta, no quadrado menor, uma região equivalente a um quadrante.

Podemos conferir com a posição em que os lados do quadrado maior são paralelos aos do menor: a região é um quadrado de lado 5\ \text{cm} (do centro até o lado do menor), com área 5\cdot 5 = 25\ \text{cm}^2.

1. Área do quadrado menor: 10^2 = 100\ \text{cm}^2.
2. Área hachurada: \dfrac{100}{4} = 25\ \text{cm}^2.

O lado de 20\ \text{cm} do quadrado maior é só distração: ele é grande o bastante para cobrir todo o quadrante.

Alternativa A.

Pegadinha: O lado de 20 cm e a inclinação do quadrado maior distraem; a área hachurada é sempre um quarto do quadrado menor, independentemente do giro.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem base geométrica; a área é exatamente um quarto de 100 cm².
• CNão corresponde a nenhuma fração correta da área do quadrado menor.
• DValor sem justificativa; a área não passa de 25 cm² por causa da simetria.
• EUsa a área errada, como se a região fosse 40% do quadrado menor.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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