Questão 52 (2º exame) da FUVEST 1999

Vamos calcular os dois produtos e igualar.

1. AB = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a+b \\ c & 2c+d \end{bmatrix}

2. BA = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+2c & b+2d \\ c & d \end{bmatrix}

3. Igualando entrada por entrada:

• Posição (1,1): a = a+2c, logo c = 0.
• Posição (1,2): 2a+b = b+2d, logo a = d.
• Posição (2,1): c = c, sem informação nova.
• Posição (2,2): 2c+d = d, logo c = 0, o que confirma o resultado.

Portanto c = 0 e a = d, enquanto b fica livre. A matriz é A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix}.

As demais alternativas não são garantidas. Como \det A = a^2, com a = 0 a matriz não seria inversível. Já b e a podem assumir valores quaisquer, pois só sabemos que a=d.

O que sempre vale é c = 0.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A\det A = a^2 pode ser zero (a = 0), então A nem sempre é inversível.
• B\det A = a^2 só é zero se a=0, o que não é obrigatório.
• Cb não é restringido pela igualdade; pode ser qualquer número.
• ESó se conclui a=d, não que ambos valham 1.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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