Questão 51 (2º exame) da FUVEST 1999

O gráfico corta o eixo x em três pontos: um negativo, a origem e um positivo. Logo, f tem três raízes distintas, e o gráfico atravessa o eixo em cada uma (muda de sinal). Além disso, para x grande e positivo a curva sobe, e para x negativo grande ela desce, como em um polinômio de grau 3 com coeficiente positivo.

Vamos testar as alternativas:

1. (A) x(x-1) tem só duas raízes (0 e 1). Não serve.
2. (B) x^2(x^2-1) tem raízes 0 (dupla), 1 e -1. Em x=0 o gráfico apenas toca o eixo, sem cruzar, e a curva sobe nos dois extremos. Não serve.
3. (C) x^3(x-1) tem só as raízes 0 e 1. Não serve.
4. (D) x(x^2-1)=x(x-1)(x+1) tem raízes -1, 0 e 1, todas simples, então o gráfico cruza o eixo nos três pontos.
5. (E) x^2(x-1) tem raízes 0 (dupla) e 1. Só duas raízes. Não serve.

Conferindo o sinal em (D): para x>1, f>0; entre 0 e 1, f<0 (mínimo local no quarto quadrante); entre -1 e 0, f>0 (máximo local no segundo quadrante); para x<-1, f<0. Isso bate com a figura.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ uma parábola com apenas duas raízes, 0 e 1; o gráfico tem três.
• BGrau 4 com raiz dupla em 0: a curva só tangencia o eixo na origem e sobe nos dois extremos.
• CTem só as raízes 0 (tripla) e 1; falta a raiz negativa.
• ERaiz dupla em 0 e uma em 1; não há raiz negativa e na origem o gráfico não cruza o eixo.

Assunto: Polinômios.

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