Questão 49 (2º exame) da FUVEST 1999

Question

– Uma reta passa pelo ponto P = (3, 1) e é tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num ponto T. Então a medida do segmento PT é:

A
\sqrt{3}
B
2
C
\sqrt{5}
D
\sqrt{6}
E
\sqrt{7}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

– Uma reta passa pelo ponto P = (3, 1) e é tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num ponto T. Então a medida do segmento PT é:

A
\sqrt{3}
B
2
C
\sqrt{5}
D
\sqrt{6}
E
\sqrt{7}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O conceito: o raio que chega ao ponto de tangência T é perpendicular à reta tangente. Assim, o triângulo CTP é retângulo em T, com catetos CT (o raio) e PT (o que queremos) e hipotenusa CP.

Distância entre o centro e o ponto P: como C=(1,1) e P=(3,1) têm a mesma ordenada, CP = 3-1 = 2.
O raio vale CT = 1.
Teorema de Pitágoras no triângulo CTP:

CP^2 = CT^2 + PT^2

2^2 = 1^2 + PT^2

PT^2 = 4 - 1 = 3

PT = \sqrt{3}

Observe que P está fora da circunferência, pois CP = 2 > 1, então a tangente existe de fato.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem soma 2^2+1^2 em vez de subtrair, esquecendo que CP é a hipotenusa.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa a distância CP=2 como se fosse PT, esquecendo que CP é a hipotenusa.
CSoma os quadrados (4+1=5) em vez de subtrair o raio ao quadrado da hipotenusa.
DNão corresponde a nenhuma relação correta entre CP=2 e o raio 1.
ENão corresponde a nenhuma relação correta; resultado de conta errada com os dados.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗