Questão 48 (2º exame) da FUVEST 1999

Question

Se \alpha é um ângulo tal que 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} e \sen \alpha = a, então \tg(\pi - \alpha) é igual a

A
\frac{-a}{\sqrt{1 - a^2}}
B
\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}
C
\frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}
D
\frac{-\sqrt{1 - a^2}}{a}
E
-\frac{1 + a^2}{a}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 (2º exame) da FUVEST 1999

2º exame · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

Se \alpha é um ângulo tal que 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} e \sen \alpha = a, então \tg(\pi - \alpha) é igual a

A
\frac{-a}{\sqrt{1 - a^2}}
B
\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}
C
\frac{\sqrt{1 - a^2}}{a}
D
\frac{-\sqrt{1 - a^2}}{a}
E
-\frac{1 + a^2}{a}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Primeiro, use a relação de ângulos suplementares: \tg(\pi - \alpha) = -\tg\alpha. Isso acontece porque \pi - \alpha está no 2º quadrante, onde a tangente é negativa, e tem o mesmo valor absoluto que \tg\alpha.

Agora é preciso escrever \tg\alpha em função de a:

\tg\alpha = \dfrac{\sen\alpha}{\cos\alpha}.
Pela relação fundamental, \sen^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, então \cos^2\alpha = 1 - a^2.
Como 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} (1º quadrante), o cosseno é positivo: \cos\alpha = \sqrt{1 - a^2}.
Logo, \tg\alpha = \dfrac{a}{\sqrt{1 - a^2}}.

Portanto:

\tg(\pi - \alpha) = -\tg\alpha = \frac{-a}{\sqrt{1 - a^2}}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem esquece que a tangente é negativa no 2º quadrante; a D engana quem inverte seno e cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

Besquece o sinal negativo da tangente no 2º quadrante, calculando apenas \tg\alpha.
Ccalcula \cot\alpha (cosseno sobre seno), invertendo a tangente, e ainda sem o sinal.
Dinverte a razão (cotangente) embora acerte o sinal negativo.
Eusa uma expressão sem base na relação fundamental, confundindo \sqrt{1-a^2} com 1+a^2.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: FUVEST 1999 · 2º exame. Prova oficial ↗