Questão 52 (2º exame) da FUVEST 1998

Question

— No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4\text{ cm} e a altura relativa a essa base também mede 4\text{ cm}. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

Triângulo acutângulo ABC com a altura relativa ao lado AB indicada por uma linha tracejada vertical descendo do vértice C. Um retângulo MNPQ está inscrito no triângulo, com o lado MN sobre a base AB, o vértice Q sobre o lado AC e o vértice P sobre o lado BC.

A
4
B
8
C
12
D
14
E
16

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 (2º exame) da FUVEST 1998

2º exame · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

— No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4\text{ cm} e a altura relativa a essa base também mede 4\text{ cm}. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

Triângulo acutângulo ABC com a altura relativa ao lado AB indicada por uma linha tracejada vertical descendo do vértice C. Um retângulo MNPQ está inscrito no triângulo, com o lado MN sobre a base AB, o vértice Q sobre o lado AC e o vértice P sobre o lado BC.

A
4
B
8
C
12
D
14
E
16

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Resolução comentada

Chame de x o lado QP (paralelo à base, x = MN) e de y a altura do retângulo (QM = PN = y).

O segmento QP é paralelo a AB, então o triângulo CQP é semelhante ao triângulo CAB. Em triângulos semelhantes, a razão entre as bases é igual à razão entre as alturas correspondentes.

Altura do triângulo CQP: a altura total é 4 e o retângulo ocupa y dela, então sobra 4 - y.
Razão de semelhança:
\frac{QP}{AB} = \frac{4-y}{4}
Substituindo QP = x e AB = 4:
\frac{x}{4} = \frac{4-y}{4} \Rightarrow x = 4 - y
Logo x + y = 4.

O perímetro do retângulo é 2x + 2y = 2(x+y) = 2\cdot 4 = 8\ \text{cm}.

Observe que não precisamos saber as medidas separadas do retângulo: como base e altura do triângulo são iguais, a soma dos lados adjacentes é sempre 4, e o perímetro é o mesmo para qualquer retângulo inscrito dessa forma.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem para em x+y=4 e esquece que o perímetro é 2(x+y).

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa apenas x+y=4 como perímetro, esquecendo de multiplicar por 2.
CNão corresponde a nenhum cálculo válido; o perímetro é 2(x+y)=8.
DValor sem relação com a semelhança; não decorre de x+y=4.
EConfunde com o perímetro de um quadrado de lado 4, ignorando que o retângulo está inscrito no triângulo.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: FUVEST 1998 · 2º exame. Prova oficial ↗