Questão 53 (2º exame) da FUVEST 1998

Triângulo ACB: reto em C, com AC = 1 e BC = 7, então AB = \sqrt{1+49}=\sqrt{50}. Triângulo ADB: reto em D, com AD = BD, é isósceles, então o ângulo DAB mede 45^\circ.

O ângulo CAB (chamado a) tem \cos a = \dfrac{1}{\sqrt{50}} e \sen a = \dfrac{7}{\sqrt{50}}.

Pela figura, o ângulo x = CAD fica entre AC e AD. Como AC e AD estão do mesmo lado de AB, temos a = x + 45^\circ, isto é, x = a - 45^\circ.

Usando a fórmula dada:

1. \sen x = \sen a\cos 45^\circ - \cos a\sen 45^\circ
2. \sen x = \dfrac{7}{\sqrt{50}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{50}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}
3. \sen x = \dfrac{6}{\sqrt{50}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{6\sqrt2}{2\cdot 5\sqrt2} = \dfrac{3}{5}

Confirmando: \sqrt{50}=5\sqrt2, então \dfrac{6}{5\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{6}{10}=\dfrac35.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D (4/5) engana quem calcula o cosseno de x em vez do seno; B e E são seno e cosseno do ângulo CAB.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ apenas \sen 45^\circ, ignorando a subtração de ângulos.
• BÉ \sen a (ângulo CAB), não o ângulo x.
• DÉ o cosseno de x, não o seno.
• EÉ \cos a, ângulo errado.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Trigonometria no triângulo retângulo.

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