Questão 50 (2º exame) da FUVEST 1998

A maior esfera que cabe na caixa tem o diâmetro limitado pela menor dimensão, que é 8\text{ cm}. Logo, o diâmetro é 8\text{ cm} (raio 4\text{ cm}).

Agora é preciso ver quantas dessas esferas cabem juntas. Cada esfera ocupa, no mínimo, um cubo imaginário de aresta 8\text{ cm}. A altura de 8\text{ cm} permite apenas uma camada, então basta arrumar as esferas no fundo da caixa, que mede 26 \times 17.

1. Ao longo de 26\text{ cm}: 26 \div 8 = 3{,}25, então cabem 3 esferas em fila.
2. Ao longo de 17\text{ cm}: 17 \div 8 = 2{,}125, então cabem 2 esferas.

Com a arrumação em grade, teríamos 3 \times 2 = 6 esferas.

Será que dá para colocar 7 em arrumação alternada (centros em zigue-zague)? Para isso, duas esferas vizinhas de filas diferentes teriam centros a 8\text{ cm} de distância. Os centros ficam numa região de 18 \times 9 (descontando o raio de cada lado: 26-8=18 e 17-8=9). Em 3 filas seriam necessárias, no mínimo, distâncias verticais de \sqrt{64-16}\approx 6{,}9 cada, ou seja, 2 \times 6{,}9 = 13{,}8 > 9. Não cabem 3 filas. Com 2 filas de centros, cada fila tem no máximo 18 \div 8, ou seja, 3 esferas (centros em 0, 8, 16), totalizando 6.

Portanto, o máximo é 6 esferas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConsidera apenas uma esfera, sem verificar quantas cabem no fundo da caixa.
• BConta só as esferas ao longo da menor dimensão do fundo, ignorando as demais.
• CUsa só 2 esferas no comprimento de 26 cm, quando cabem 3.
• EDivide os volumes ou considera uma segunda camada, mas a altura de 8 cm só comporta uma.

Assuntos: Esfera, Prismas e paralelepípedos.

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