Questão M04 da 2ª fase da FUVEST 2024

2º dia · Matemática

Vamos admitir que uma corda presa nas extremidades de duas hastes paralelas e de mesma altura descreve uma curva que é dada pela equação y = 2^x + 2^{-x}. Uma representação gráfica dessa equação, limitada por duas retas verticais paralelas ao eixo Oy e onde o eixo Ox indica o solo, é dada pela figura. A unidade de medida é o metro (m).

Gráfico no plano cartesiano Oxy mostrando uma curva em forma de U simétrica em relação ao eixo Oy, com vértice no semiplano superior, interceptando o eixo vertical e delimitada à esquerda e à direita por dois segmentos verticais paralelos ao eixo y que partem do eixo horizontal Ox até as extremidades da curva.

a) Qual a altura mais baixa que a corda assume?

b) Qual será a altura das hastes se a distância entre elas for de 3 m?

c) Qual a distância entre dois pontos da corda que estão a uma altura de 4 m do solo?

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A altura mais baixa é quando x = 0. Nesse caso, f(0) = 2^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2. Portanto a altura mais baixa que a corda assume é de 2 metros.

b) Se a distância entre as hastes é de 3\text{m}, a altura de cada haste será f(3/2), isto é, f(3/2) = 2^{(3/2)} + 2^{(-3/2)} = \sqrt{8} + 1/\sqrt{8} = 9/\sqrt{8} = (9\sqrt{8})/8 = (9\sqrt{2})/4. Portanto a altura das hastes é de (9\sqrt{2})/4 metros.

c) Precisamos encontrar os pontos x tais que f(x) = 4 e depois calcular a distância entre eles. Para isso precisa-se resolver a equação: 2^x + 2^{-x} = 4, 2^x + (1/2^x) - 4 = 0. Multiplicando por 2^x encontramos 2^x \cdot 2^x + 1 - 4 \cdot 2^x = 0. Fazendo y = 2^x temos y^2 - 4y + 1 = 0. Logo y = 2 \pm \sqrt{3}. Portanto 2^x = 2 \pm \sqrt{3}. Aplicando log tem-se x_1 = \log(2 + \sqrt{(3)})/\log 2 e x_2 = \log(2 - \sqrt{(3)})/\log 2.

A distância solicitada é x_1 - x_2 = (\log(2 + \sqrt{3}) - \log(2 - \sqrt{3}))/\log 2 .

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Questão M04 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2024