Um móbile matemático é uma figura que simula móbiles físicos. Ela é formada por segmentos de reta e figuras planas com valores numéricos racionais positivos, de forma a buscar um equilíbrio. A figura 1 ilustra um móbile básico matemático. Para ele estar em equilíbrio, os valores devem cumprir as equações e . Quando não aparecem valores para as letras a e b , significa que ambas valem 1. Um móbile pode ser composto por diversos móbiles básicos, como a figura 2. Note que, nele, tem-se , mantendo o móbile em equilíbrio. Considerando os móbiles I , II e III , apresentados na folha de respostas, responda ao que se pede: a) Complete o móbile I , preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio. b) Determine nN para que o móbile II esteja em equilíbrio. c) Complete o móbile III , preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio.

Questão M01 da 2ª fase da FUVEST 2024

2º dia · Matemática

Um móbile matemático é uma figura que simula móbiles físicos. Ela é formada por segmentos de reta e figuras planas com valores numéricos racionais positivos, de forma a buscar um equilíbrio. A figura 1 ilustra um móbile básico matemático. Para ele estar em equilíbrio, os valores devem cumprir as equações x = ac + bd e ac = bd. Quando não aparecem valores para as letras a e b, significa que ambas valem 1.

Figura 1: Móbile básico composto por um triângulo invertido com valor x no topo sobre uma barra horizontal com comprimentos a à esquerda e b à direita, sustentando nas pontas dois círculos com valores c e d.

Um móbile pode ser composto por diversos móbiles básicos, como a figura 2. Note que, nele, tem-se 5 = 3 + 1 + 1, mantendo o móbile em equilíbrio.

Figura 2: Móbile composto com triângulo de valor 10 no topo sustentando um círculo de valor 5 à esquerda e um círculo de valor 3 à direita; deste círculo pende outra barra que sustenta dois círculos com valor 1 cada.

Considerando os móbiles I, II e III, apresentados na folha de respostas, responda ao que se pede:

a) Complete o móbile I, preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio.

b) Determine n \in N para que o móbile II esteja em equilíbrio.

c) Complete o móbile III, preenchendo as formas geométricas vazias com os valores que faltam para que ele esteja em equilíbrio.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) [Figura: Móbile em equilíbrio suspenso por um triângulo contendo o número 64 em vermelho. A barra principal divide-se com as anotações 32 à esquerda e 32 à direita em vermelho. O ramo esquerdo contém um círculo com o valor 10, que se divide em dois ramos com círculos de valores 3 e 11; do círculo com o valor 3 parte uma barra sustentando dois círculos, ambos com o valor 4. O ramo direito ramifica-se em um círculo com valor 16 à direita e, à esquerda, uma barra que sustenta dois círculos, ambos com o valor 8.]

b) Analisando o lado direito do móbile, temos que o primeiro círculo, de cima para baixo, deve valer 228, o próximo círculo, deve valer 114 e por fim, o último, deve valer 57. Logo temos a seguinte equação \mathbf{2n+3 = 57}, e portanto \mathbf{n = 27}.

c) Nomeando os círculos em branco como x, y, z, w, da esquerda para a direita, temos que:

7x = 3y, 2z = 3w

2\cdot(7x+3y) = 5(2z+3w)

2(7x+3y)+5(2z+3w) = 70

Resolvendo o sistema acima, obtém-se: \mathbf{x} = {}^{5}/_{4}, \mathbf{y} = {}^{35}/_{12}, \mathbf{z} = {}^{7}/_{4}, \mathbf{w} = {}^{7}/_{6}.

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