Resposta esperada pela FUVEST
O problema pode ser resolvido utilizando-se uma Resolução Única ou a Resolução por Itens, como descrito abaixo.
Resolução Única
"Questão impossível" com justificativa
Justificativa: A soma da probabilidade de eventos disjuntos é maior do que 1 (ou equivalentes)
Resolução por Itens
Nota: Os critérios listados abaixo são válidos para resoluções utilizando os dados fornecidos no enunciado do problema, resoluções analíticas ou resoluções que utilizem alguma distribuição de probabilidade adequada.
a) \text{P(npa)} = 0{,}4 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}1 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 23/100 = 0{,}23
a.2) Cálculo pelo complementar considerando os dados informados:\text{P(pa)} = 0{,}4 \cdot 0{,}8 + 0{,}3 \cdot 0{,}9 + 0{,}4 \cdot 0{,}7 = 0{,}87 \text{P(npa)} = 1 - \text{P(pa)} = 1 - 0{,}87 = 0{,}13 .
a.3.i) Cálculo considerando "110 e 100":\text{P(npa)} = 40/110 \cdot 20/100 + 30/110 \cdot 10/100 + 40/110 \cdot 30/100 = 23/110 = 0{,}2091 \text{P(npa)} = 1 - \text{P(pa)} = 1 - (40/110 \cdot 80/100 + 30/110 \cdot 90/100 + 40/110 \cdot 70/100) = 1 - (32/110 + 27/110 + 36/110) = 1 - 87/110 = 23/110 = 0{,}2091 .
a.3.ii) Cálculo considerando "110 e 110":\text{P(npa)} = 40/110 \cdot 20/110 + 30/110 \cdot 10/110 + 40/110 \cdot 30/110 = 0{,}19 \text{P(npa)} = 1 - \text{P(pa)} = 1 - (40/110 \cdot 80/110 + 30/110 \cdot 90/110 + 40/110 \cdot 70/110) = 1 - (4/11 \cdot 8/11 + 3/11 \cdot 9/11 + 4/11 \cdot 7/11) = 1 - (32/121 + 27/121 + 36/121) = 1 - 87/121 = 34/121 = 0{,}281 .
a.4) Resolução analítica (fórmula geral):\text{P(A)} = \text{a} , \text{P(B)} = \text{b} e \text{P(C)} = \text{c} , então \text{a} + \text{b} + \text{c} = 1 \text{P(npa)} = 0{,}2\text{a} + 0{,}1\text{b} + 0{,}3\text{c} \text{P(npa)} = 1 - \text{P(pa)} = 1 - (0{,}8\text{a} + 0{,}90\text{b} + 0{,}70\text{c})
b) = \{(\text{A,B}), (\text{B,A}), (\text{A,C}), (\text{C,A}), (\text{B,C}), (\text{C,B})\} ,\text{P(E)} = 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}8 \text{P(F, E)} = 2 \cdot [\ 0{,}4 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}9 + 0{,}4 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}7 + 0{,}3 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}7\ ] = 2 \cdot 0{,}2516 = 0{,}5032 \text{P(F dado E)} = 0{,}5032/0{,}8 = 0{,}629
b.2) Resolução pela "média ponderada":\text{P(F dado E)} = 0{,}3 \cdot (0{,}8 \cdot 0{,}9) + 0{,}4 \cdot (0{,}8 \cdot 0{,}7) + 0{,}3 \cdot (0{,}9 \cdot 0{,}7) = 0{,}629
b.3) Resolução analítica (com a notação de b.1):\text{P(A)}=\text{a} , \text{P(B)}=\text{b} e \text{P(C)}=\text{c} , então \text{P(E)} = 2 \cdot (\text{ab} + \text{ac} + \text{bc}) \text{P(E,F)} = 2 \cdot [\ 0{,}8\text{a} \cdot 0{,}9\text{b} + 0{,}8\text{a} \cdot 0{,}7\text{c} + 0{,}9\text{b} \cdot 0{,}7\text{c}\ ] = 1{,}44\text{ab} + 1{,}12\text{ac} + 1{,}26\text{bc} \text{P(F dado E)} = (0{,}72\text{ab} + 0{,}56\text{ac} + 0{,}63\text{bc})/(\text{ab} + \text{ac} + \text{bc})
b.4.i) Resolução considerando denominador "110 e 100"\text{P(E)} = 40/110 \cdot 30/110 + 30/110 \cdot 40/110 + 40/110 \cdot 40/110 + 40/110 \cdot 40/110 + 30/110 \cdot 40/110 + 4/110 \cdot 30/110 = 80/121 = 0{,}6612 \text{P(F, E)} = 2 \cdot [\ 40/110 \cdot 80/100 \cdot 30/110 \cdot 90/100 + 40/110 \cdot 80/100 \cdot 30/110 \cdot 70/100 + 30/110 \cdot 90/100 \cdot 30/110 \cdot 70/100\ ] = 2 \cdot 0{,}1738 = 0{,}3476 \text{P(F dado E)} = 0{,}3476/0{,}6612 = 0{,}5257
b.4.ii) Resolução considerando denominador "110 e 110"\text{P(E)} = 40/110 \cdot 30/110 + 30/110 \cdot 4/110 + 40/110 \cdot 40/110 + 40/110 \cdot 40/110 + 30/110 \cdot 40/110 + 4/110 \cdot 30/110 = 2 \cdot 40/121 = 80/121 = 0{,}6612 \text{P(F, E)} = 2 \cdot [\ 40/110 \cdot 80/110 \cdot 30/110 \cdot 90/110 + 40/110 \cdot 80/110 \cdot 30/110 \cdot 70/110 + 30/110 \cdot 90/110 \cdot 30/110 \cdot 70/110\ ] = 2 \cdot 2103/14641 = 2 \cdot 0{,}1436 = 0{,}2873 \text{P(F dado E)} = 0{,}2873/0{,}6612 = 0{,}4345
c) \text{P(B dado pa)} = 0{,}9 \cdot 0{,}3/0{,}77 = 0{,}27/0{,}77 = 0{,}351
c.1.ii) Se calculou P(npa) pelo complementar\text{P(B dado pa)} = 0{,}9 \cdot 0{,}3/0{,}87 = 0{,}27/0{,}87 = 0{,}31
c.2) Solução analítica\text{P(B dado pa)} = 0{,}9\text{b}/(0{,}8\text{a} + 0{,}9\text{b} + 0{,}7\text{c})
c.3.i) Resolução considerando "110 e 100"\text{P(B dado pa)} = [90/100 \cdot 30/110]/0{,}77 = (27/110)/0{,}77 = 0{,}2455/0{,}77 = 0{,}3188
Se calculou P(npa) pelo complementar\text{P(B dado pa)} = [90/100 \cdot 30/110]/0{,}87 = (27/110)/0{,}87 = 0{,}2821
c.3.ii) Resolução considerando "110 e 110"\text{P(B dado pa)} = [90/110 \cdot 30/110]/0{,}77 = (27/121)/0{,}77 = 0{,}2231/0{,}77 = 0{,}2898
Se calculou P(npa) pelo complementar\text{P(B dado pa)} = [90/110 \cdot 30/110]/0{,}87 = (27/121)/0{,}87 = 0{,}2565
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