Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2019

Question

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	*
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é M = \begin{pmatrix} F & U & V \\ E & S & T \end{pmatrix}, que, numericamente, corresponde a M = \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix}. Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes

N = A \cdot M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 101 & 106 \\ 11 & 40 & 42 \end{pmatrix}.

O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada recebida:

M = B \cdot N = \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix}.

a) Se a matriz codificadora é A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, e o destinatário recebe a matriz codificada N = \begin{pmatrix} 33 & 9 & 8 & 48 \\ 47 & 13 & 9 & 75 \end{pmatrix}, qual foi a mensagem enviada?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se A = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -14 \end{pmatrix}, encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Matemática

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z	*
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} e B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é M = \begin{pmatrix} F & U & V \\ E & S & T \end{pmatrix}, que, numericamente, corresponde a M = \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix}. Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes

N = A \cdot M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 28 & 101 & 106 \\ 11 & 40 & 42 \end{pmatrix}.

O destinatário, para decifrar a mensagem, deve fazer o produto da matriz decodificadora com a matriz codificada recebida:

M = B \cdot N = \begin{pmatrix} 6 & 21 & 22 \\ 5 & 19 & 20 \end{pmatrix}.

a) Se a matriz codificadora é A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, e o destinatário recebe a matriz codificada N = \begin{pmatrix} 33 & 9 & 8 & 48 \\ 47 & 13 & 9 & 75 \end{pmatrix}, qual foi a mensagem enviada?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se A = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ 4 & -14 \end{pmatrix}, encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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Resolução comentada

a) Com 6 letras, a mensagem ocupa uma matriz 2\times 3, preenchida linha a linha como no exemplo FUVEST. ESCOLA vira E=5,\ S=19,\ C=3,\ O=15,\ L=12,\ A=1:

M=\begin{pmatrix}5&19&3\\15&12&1\end{pmatrix}

A mensagem codificada é N=A\cdot M:

N=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&19&3\\15&12&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+15&19+12&3+1\\5+30&19+24&3+2\end{pmatrix}

N=\begin{pmatrix}20&31&4\\35&43&5\end{pmatrix}

b) Para decodificar, usamos a inversa de A. Como \det A=1\cdot2-1\cdot1=1, temos

B=A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}

Então M=B\cdot N. Coluna por coluna, com (x,y)\mapsto(2x-y,\,-x+y):

(33,47)\to(66-47,\,14)=(19,14)
(9,13)\to(18-13,\,4)=(5,4)
(8,9)\to(16-9,\,1)=(7,1)
(48,75)\to(96-75,\,27)=(21,27)

Assim,

M=\begin{pmatrix}19&5&7&21\\14&4&1&27\end{pmatrix}

Lendo linha a linha, temos 19=S,\ 5=E,\ 7=G,\ 21=U,\ 14=N,\ 4=D,\ 1=A,\ 27=*.

Mensagem enviada: SEGUNDA (SEGUNDA*, isto é, seguida de espaço).

c) Quatro letras formam uma matriz 2\times2. O produto A\cdot M é nulo quando cada coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} de M satisfaz

\begin{pmatrix}2&-7\\4&-14\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\iff 2x=7y

(a segunda equação é o dobro da primeira). Logo x=7t e y=2t. Com x e y entre 1 e 27, só servem t=1,2,3:

(7,2): letras G e B
(14,4): letras N e D
(21,6): letras U e F

Cada coluna de M é um desses pares, com a primeira letra na linha de cima. Por exemplo, M=\begin{pmatrix}7&14\\2&4\end{pmatrix} dá A\cdot M=\begin{pmatrix}14-14&28-28\\28-28&56-56\end{pmatrix}=0.

Quatro sequências possíveis, lidas linha a linha, são GGBB, NNDD, UUFF e GNBD.

Sequências: GGBB, NNDD, UUFF e GNBD (entre outras).

Assuntos: matrizes, multiplicação de matrizes, matriz inversa.

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