PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2019

2º dia · Matemática

Conforme se vê na figura, em um plano, encontram-se:

  • duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de intersecção dessas duas retas;
  • um ponto Q \in s tal que a medida de \overline{OQ} é 5;
  • uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1;
  • um ponto P \in c tal que o segmento \overline{OP} intersecta c apenas em P.

Denotam-se \theta = Q\hat{O}P e \beta = O\hat{Q}P.

Plano com retas perpendiculares r horizontal e s vertical, que se intersectam no ponto O. Sobre a reta s, situa-se o centro Q de uma circunferência c de raio 1. Um ponto P está sobre a circunferência c. A reta t passa por Q e P. A semirreta u parte de P e contém O. A semirreta w parte de P para fora de c e intersecta a reta r no ponto R. Estão indicados o ângulo reto em O, o ângulo beta em Q, o ângulo teta em O, dois ângulos alfa em P entre as semirretas u, w e a reta t, e o ângulo gama no vértice R.

a) Calcule \sen \theta, no caso em que \theta assume o máximo valor possível na descrição acima.

b) Calcule \sen \theta, no caso em que \beta = 60^\circ.

Ainda na figura, encontram-se:

  • a reta t contendo Q e P;
  • a semirreta u partindo de P e contendo O;
  • a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w estão em semiplanos distintos relativos a t.

Supõe-se que os ângulos formados por u e t e por w e t sejam iguais a um certo valor \alpha, com 0 \le \alpha \le 90^\circ. Caso w intersecte r (como é o caso da figura), denotam-se R como esse único ponto de intersecção e \gamma = O\hat{R}P.

c) Determine a medida de \overline{OR}, no caso em que \alpha = 45^\circ.

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Resolução comentada

a) O ângulo \theta é máximo quando a reta OP é tangente à circunferência c. Nesse caso, QP \perp OP, e o triângulo OPQ é retângulo em P, com hipotenusa OQ=5 e cateto oposto a \theta igual a QP=1.

\sen\theta=\frac{QP}{OQ}=\frac{1}{5}

\sen\theta = \dfrac15

b) No triângulo OPQ temos OQ=5, QP=1 e \beta=60^\circ.

  1. Lei dos cossenos: OP^2=25+1-2\cdot5\cdot1\cdot\cos60^\circ=26-5=21, logo OP=\sqrt{21}.
  2. Lei dos senos: \dfrac{\sen\theta}{QP}=\dfrac{\sen\beta}{OP}, então \sen\theta=\dfrac{\sqrt3/2}{\sqrt{21}}=\dfrac{1}{2\sqrt7}=\dfrac{\sqrt7}{14}.

\sen\theta=\dfrac{\sqrt7}{14}

c) Como t passa por Q e P, o ângulo \alpha entre u e t é externo ao triângulo OPQ em P. Logo \alpha=\beta+\theta=45^\circ e Q\hat{P}O=135^\circ.

  1. Lei dos senos em OPQ: \dfrac{\sen\theta}{1}=\dfrac{\sen135^\circ}{5}=\dfrac{\sqrt2}{10}. Daí \cos\theta=\dfrac{7\sqrt2}{10} e \tg\theta=\dfrac17.
  2. Como \beta=45^\circ-\theta: \sen\beta=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\theta-\sen\theta)=\frac35 e \cos\beta=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\theta+\sen\theta)=\frac45.
  3. Com O=(0,0) e Q=(0,5), o ponto P é Q+(\sen\beta,-\cos\beta), ou seja, P=\left(\frac35,\frac{21}{5}\right).
  4. Medindo a partir da vertical para baixo, a reta t tem inclinação \beta e w tem inclinação \beta+\alpha=90^\circ-\theta. Então w faz com a horizontal um ângulo \theta, descendo 1 para cada 7 unidades horizontais.
  5. Para descer \frac{21}{5} até r, w avança 7\cdot\frac{21}{5}=\frac{147}{5} na horizontal.
OR=\frac35+\frac{147}{5}=\frac{150}{5}=30

OR=30

Assuntos: geometria plana, lei dos senos e dos cossenos, trigonometria.

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