PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M10 da 2ª fase da FUVEST 2008
Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
- os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2\sqrt{3}\text{ cm}, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo.
Reportar erro na questão
Resolução comentada
a) Os pontos comuns ao cubo e ao copo estão no bordo, que é uma circunferência. Eles formam um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência, de raio R = 2\sqrt{3}\ \text{cm}.
Para um triângulo equilátero inscrito, o lado é \ell = R\sqrt{3}:
O vértice que fica dentro do copo é o encontro de três arestas perpendiculares do cubo. O bordo corta essas três arestas em pontos que formam o triângulo equilátero, todos à mesma distância a do vértice (a aresta do cubo é a). A parte do cubo dentro do copo é, portanto, um tetraedro com três arestas perpendiculares de comprimento x saindo do vértice.
O lado do triângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de catetos x:
O volume do tetraedro é \frac{1}{3}\cdot(\text{área da base})\cdot\text{altura}. Tomando como base o triângulo retângulo de catetos x e como altura o terceiro cateto x:
O volume da parte do cubo dentro do copo é 9\sqrt{2}\ \text{cm}^3.
Assunto: Pirâmides e tronco de pirâmide.
Reportar erro na resolução
Ver como caiu na prova
