PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M10 da 2ª fase da FUVEST 2007

2ª fase · Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta \overline{\text{AE}} e \text{AM} = 3 \cdot \text{ME}. Calcule:

Cubo ABCDEFGH com um ponto M na aresta vertical AE. O segmento MB é desenhado com linha contínua, e o segmento MC com linha tracejada. As arestas ocultas AD, DH e DC são tracejadas.

a) O volume do tetraedro BCGM.

b) A área do triângulo BCM.

c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento \overline{\text{CM}}.

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Resolução comentada

a) Posicione o cubo com A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), G=(a,a,a) e E=(0,0,a). Como AM=3\cdot ME e AM+ME=a, temos AM=\frac{3a}{4}.

Tome como base o triângulo BCG, que está na face x=a. Ele é retângulo em C, com catetos BC=CG=a. Sua área é

A_{BCG}=\frac{a^2}{2}.

O ponto M está na aresta AE, no plano x=0. Esse plano é paralelo à face BCGF e fica a distância a dela, que é a altura do tetraedro. Então:

V=\frac13\cdot\frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}.

Volume: \dfrac{a^3}{6}

b) A aresta BC é perpendicular às arestas AB e BF. Logo BC é perpendicular ao plano da face ABFE, que contém MB. Assim, BC\perp MB e o triângulo BCM é retângulo em B.

No triângulo retângulo MAB:

MB=\sqrt{a^2+\left(\tfrac{3a}{4}\right)^2}=\sqrt{\tfrac{25a^2}{16}}=\frac{5a}{4}.

A área de BCM é metade do produto dos catetos BC e MB:

A=\frac12\cdot a\cdot\frac{5a}{4}=\frac{5a^2}{8}.

Área: \dfrac{5a^2}{8}

c) A distância de B à reta CM é a altura do triângulo BCM relativa à hipotenusa CM.

Pelo teorema de Pitágoras:

CM=\sqrt{BC^2+MB^2}=\sqrt{a^2+\tfrac{25a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{41}}{4}.

A área também vale \frac12\cdot CM\cdot h. Igualando com o resultado do item b:

h=\frac{2\cdot\frac{5a^2}{8}}{\frac{a\sqrt{41}}{4}}=\frac{5a}{\sqrt{41}}=\frac{5a\sqrt{41}}{41}.

Distância: \dfrac{5a\sqrt{41}}{41}

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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