Questão M09 da 2ª fase da FUVEST 2007

a) Para f(x)=|4-x^2|, vale f(x)=4-x^2 quando |x|\le 2 e f(x)=x^2-4 quando |x|>2.

• Para -2\le x\le 2, o gráfico é o arco da parábola y=4-x^2, com concavidade para baixo e vértice em (0,4). Ele toca o eixo x em (-2,0) e (2,0).
• Para |x|>2, o gráfico é a parábola y=x^2-4, com concavidade para cima, partindo de (\pm2,0). Passa por exemplo por (3,5) e (-3,5).
• O gráfico de f tem formato de "W" suave, sempre \ge 0. É a parábola y=x^2-4 com a parte negativa (entre -2 e 2) refletida para cima.

Para g(x)=\frac{x+7}{2}, o gráfico é uma reta crescente passando por (-7,0), (0;3{,}5), (1,4) e (3,5).

Os gráficos se cruzam em quatro pontos, calculados no item b: (-2{,}5;\,2{,}25), (-1,3), (0{,}5;\,3{,}75) e (3,5).

Resposta: gráficos como descritos: f em "W" com vértice local (0,4) e zeros em \pm2, e g reta por (-7,0) e (0;3{,}5).

b) Separamos em dois casos, conforme o sinal de 4-x^2.

Caso 1: -2\le x\le 2. Aqui |4-x^2|=4-x^2, então:

As raízes são x=-1 e x=\tfrac12, e a parábola tem concavidade para cima. Logo x\le -1 ou x\ge \tfrac12. Com -2\le x\le 2, ficamos com [-2,-1]\cup[\tfrac12,2].

Caso 2: x<-2 ou x>2. Aqui |4-x^2|=x^2-4, então:

As raízes são x=-\tfrac52 e x=3, e a parábola tem concavidade para cima. Logo -\tfrac52\le x\le 3. Com |x|>2, ficamos com [-\tfrac52,-2)\cup(2,3].

União dos casos:

Isso confere com o gráfico: f fica abaixo ou sobre a reta entre os cruzamentos x=-2{,}5 e x=-1, e entre x=0{,}5 e x=3.

Resposta: S=\left\{x\in\mathbb{R}:\,-\tfrac52\le x\le -1\ \text{ou}\ \tfrac12\le x\le 3\right\}.

Assuntos: Função modular, Função quadrática.