PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M07 da 2ª fase da FUVEST 2007
Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine
a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.
b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.
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Resolução comentada
a) Como as bolas são retiradas sem reposição, retirar três bolas sucessivamente equivale a escolher um subconjunto de 3 bolas entre as 8. Todos os subconjuntos são igualmente prováveis.
- Casos possíveis: \binom{8}{3} = 56.
- Casos favoráveis (2 pretas e 1 branca): \binom{3}{2}\cdot\binom{5}{1} = 3\cdot 5 = 15.
Conferindo pela sequência de retiradas: a ordem PPB tem probabilidade \frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{56}. Há 3 ordens possíveis (PPB, PBP, BPP), todas com a mesma probabilidade, então 3\cdot\frac{5}{56}=\frac{15}{56}.
Resposta: \dfrac{15}{56}.
b) Aqui a probabilidade é condicional: P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}. Seja A o evento "2 pretas e 1 branca" e B o evento "as três bolas não são da mesma cor".
Se saíram 2 pretas e 1 branca, as cores não são todas iguais. Logo A\subset B e A\cap B = A.
- P(A)=\dfrac{15}{56}.
- Casos de mesma cor: 3 brancas, \binom{5}{3}=10, ou 3 pretas, \binom{3}{3}=1. Total: 11 casos.
- P(B)=1-\dfrac{11}{56}=\dfrac{45}{56}.
Ou seja, entre os 45 casos em que as cores não são todas iguais, 15 têm 2 pretas e 1 branca.
Resposta: \dfrac{1}{3}.
Assuntos: Probabilidade condicional, Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.
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