PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2007

2ª fase · Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Na figura ao lado, os pontos \text{A}_1, \text{A}_2, \text{A}_3, \text{A}_4, \text{A}_5, \text{A}_6 são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem \text{O} de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices \text{A}_1 e \text{A}_4 pertencem ao eixo x. São dados também os pontos \text{B} = (2, 0) e \text{C} = (0, 1) .

Considere a reta que passa pela origem \text{O} e intersecta o segmento \overline{\text{BC}} no ponto \text{P}, de modo que os triângulos \text{OPB} e \text{OPC} tenham a mesma área. Nessas condições, determine

Sistema de eixos cartesianos x e y com um hexágono regular de centro na origem e vértices $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$, onde $A_1$ e $A_4$ estão sobre o eixo x. Estão representados o ponto B sobre o eixo x, o ponto C sobre o eixo y, o segmento BC, e uma reta passando pela origem O e interceptando o segmento BC no ponto P.

a) a equação da reta \overleftrightarrow{\text{OP}} .

b) os pontos de interseção da reta \overleftrightarrow{\text{OP}} com o hexágono.

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Resolução comentada

a) Os triângulos OPB e OPC têm a mesma altura em relação à reta BC, que é a distância de O a essa reta. Logo, áreas iguais exigem bases iguais, isto é, PB = PC. Então P é o ponto médio de BC:

P=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2}\right)=\left(1,\frac12\right)

A reta passa por O e por P, então seu coeficiente angular é \frac{1/2}{1}=\frac12. A equação é

y=\frac{x}{2}\quad(\text{ou } x-2y=0).

Resposta: y=\dfrac{x}{2}.

b) Com lado 3 e centro na origem, os vértices são A_1=(3,0), A_2=\left(\frac32,\frac{3\sqrt3}{2}\right), A_3=\left(-\frac32,\frac{3\sqrt3}{2}\right), A_4=(-3,0), e A_5, A_6 simétricos de A_2, A_3 em relação a O.

A reta tem inclinação pequena (y=x/2), então corta o lado A_1A_2 no semiplano x>0. Esse lado tem coeficiente angular

\frac{\frac{3\sqrt3}{2}-0}{\frac32-3}=-\sqrt3,

e sua equação é y=-\sqrt3\,(x-3).

Igualando com y=\frac x2:

\frac x2=-\sqrt3\,x+3\sqrt3\;\Rightarrow\; x\left(\frac12+\sqrt3\right)=3\sqrt3\;\Rightarrow\; x=\frac{6\sqrt3}{1+2\sqrt3}.

Racionalizando:

x=\frac{6\sqrt3\,(2\sqrt3-1)}{12-1}=\frac{36-6\sqrt3}{11},\qquad y=\frac x2=\frac{18-3\sqrt3}{11}.

Conferência: x\approx 2{,}33, que está entre \frac32 e 3, então o ponto pertence ao lado A_1A_2.

Por simetria em relação a O (o hexágono é centralmente simétrico e a reta passa por O), o outro ponto, sobre o lado A_4A_5, é o oposto desse.

Resposta: \left(\dfrac{36-6\sqrt3}{11},\dfrac{18-3\sqrt3}{11}\right) e \left(-\dfrac{36-6\sqrt3}{11},-\dfrac{18-3\sqrt3}{11}\right).

Assunto: Ponto e reta no plano cartesiano.

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