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Questão 178 do ENEM 2025

2º dia · Matemática · H29 · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.

O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é

  1. A
    Artur, com probabilidade de \dfrac{2}{3}
  2. B
    João, com probabilidade de \dfrac{4}{9}
  3. C
    Artur, com probabilidade de \dfrac{91}{216}
  4. D
    João, com probabilidade de \dfrac{91}{216}
  5. E
    Artur, com probabilidade de \dfrac{125}{216}
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Resolução comentada

Artur lança dois dados e conta o maior valor M. João lança um dado e obtém J. Artur vence quando M > J; João vence quando J \ge M (o empate é dele).

Primeiro, a distribuição de M. O maior valor é no máximo k quando os dois dados dão no máximo k, o que ocorre em k^2 dos 36 casos. Assim, P(M=k)=\dfrac{k^2-(k-1)^2}{36}=\dfrac{2k-1}{36}.

Agora, a probabilidade de João vencer. Para cada valor J=j, João vence se M \le j, com probabilidade \dfrac{j^2}{36}. Cada valor de j tem probabilidade \dfrac16. Então:

P(\text{João})=\frac16\cdot\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{36}=\frac{91}{216}

A probabilidade de Artur vencer é o complemento:

P(\text{Artur})=1-\frac{91}{216}=\frac{125}{216}

Como 125>91, Artur tem a maior chance de vitória, com probabilidade \dfrac{125}{216}.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C (e a D) usa o valor 91/216, que é a chance de João, e a troca de dono; quem esquece que o empate favorece João ou confunde os jogadores cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem justificativa; Artur não vence com 2/3, pois 125/216\approx 0{,}58.
  • BAtribui a vitória a João com 4/9, valor que não resulta da contagem dos casos.
  • CUsa 91/216, que é a probabilidade de João, e a atribui a Artur.
  • DCalcula corretamente a probabilidade de João, mas ela é menor que a de Artur, então João não é o favorito.

Assunto: Probabilidade: conceitos básicos.

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