Questão 177 do ENEM 2025

2º dia · Matemática

A figura ilustra o projeto visual para confecção de uma medalha comemorativa, com a forma de um cilindro circular reto, de diâmetro 6 cm e espessura 3 mm.

Projeto visual de medalha cilíndrica com base quadrada inscrita: à esquerda, vista superior com círculo amarelo de 6 cm de diâmetro e quadrado cinza ABCD inscrito com vértices tocando a borda; à direita, vista em perspectiva mostrando a espessura de 3 mm do cilindro com o prisma reto de base quadrada que o atravessa.

A figura ABCD tem a forma de um quadrado e é a base de um prisma que atravessa toda a medalha. A região da medalha externa a esse prisma será cunhada em ouro. Pretende-se cunhar 100 dessas medalhas.

Considere 3,1 como valor aproximado para \pi.

Qual é o volume de ouro, em centímetro cúbico, necessário para a confecção dessas medalhas?

  1. A
    288
  2. B
    297
  3. C
    567
  4. D
    990
  5. E
    1 134
Resolução comentada

O ouro ocupa a parte do cilindro que fica fora do prisma. Como os dois têm a mesma altura, basta calcular a área da base que sobra (círculo menos quadrado) e multiplicar pela espessura.

  1. Círculo: diâmetro 6 cm, raio 3 cm. A_c = \pi r^2 = 3{,}1\cdot 9 = 27{,}9\ \text{cm}^2.

  2. Quadrado inscrito: seus vértices tocam a circunferência, então a diagonal é o diâmetro, d = 6 cm. A área de um quadrado em função da diagonal é A_q = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{36}{2} = 18\ \text{cm}^2.

  3. Área da região dourada: 27{,}9 - 18 = 9{,}9\ \text{cm}^2.

  4. Espessura: 3\ \text{mm} = 0{,}3\ \text{cm}. Volume de ouro em uma medalha: 9{,}9\cdot 0{,}3 = 2{,}97\ \text{cm}^3.

  5. Para 100 medalhas: 100\cdot 2{,}97 = 297\ \text{cm}^3.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem não converte 3 mm para 0,3 cm, chegando a 990 em vez de 297.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa área do quadrado incorreta (por exemplo, lado 6 ou outra conta), não chegando a 9,9 cm² de base dourada.
  • CUsa a espessura de 3 mm como 0,3 cm mas erra a área, ou usa metade da área do círculo menos algo; não corresponde à região externa ao quadrado.
  • DUsa a espessura como 1 cm ao invés de 0,3 cm (ou 3 mm mal convertidos), obtendo 990.
  • ECalcula o volume do cilindro todo, ou dobra o valor, sem descontar corretamente o prisma.

Assuntos: volume de cilindro, área de círculo e quadrado inscrito, conversão de unidades.

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