Questão 175 do ENEM 2025
Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
- A36
- B53
- C300
- D360
- E560
Resolução comentada
Os presentes são diferentes, então importa quais presentes cada filho recebe. Vamos contar por etapas, começando pelo filho mais velho, que tem a restrição.
O mais velho recebe 3 presentes, com exatamente um entre a bicicleta e o celular.
- Escolher qual dos dois ele leva: 2 maneiras.
- Escolher os outros 2 presentes entre os 6 que não são bicicleta nem celular: \binom{6}{2}=15 maneiras.
Portanto, o mais velho pode receber seus presentes de 2\cdot 15=30 maneiras.
Sobram 8-3=5 presentes (incluindo o outro item do par bicicleta/celular, que já não pode ir para o mais velho, mas pode ir para os demais).
- O mais novo recebe 3 dos 5 restantes: \binom{5}{3}=10 maneiras.
- O do meio fica com os 2 que sobram: 1 maneira.
Total, pelo princípio multiplicativo:
Conferindo por outro caminho: sem restrição, seriam \binom{8}{3}\binom{5}{3}=56\cdot 10=560. Com a restrição, o mais velho tem 30 das 56 combinações possíveis, e 30\cdot10=300 confere.
Alternativa C.
Pegadinha: A alternativa E (560) é o total sem restrição, tentação para quem esquece a condição de 'ou bicicleta ou celular, mas não ambos'.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ACalcula só parte da contagem, sem multiplicar pelas escolhas do filho mais novo.
- BSoma valores em vez de multiplicar as etapas independentes.
- DMultiplica por 12 em vez de 10, erro de contagem na escolha dos presentes dos outros filhos.
- EÉ o total sem a restrição: 56\cdot10, ignorando a condição sobre bicicleta e celular.
Assuntos: análise combinatória, combinação, princípio multiplicativo.
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