Questão 175 do ENEM 2025

Os presentes são diferentes, então importa quais presentes cada filho recebe. Vamos contar por etapas, começando pelo filho mais velho, que tem a restrição.

O mais velho recebe 3 presentes, com exatamente um entre a bicicleta e o celular.

1. Escolher qual dos dois ele leva: 2 maneiras.
2. Escolher os outros 2 presentes entre os 6 que não são bicicleta nem celular: \binom{6}{2}=15 maneiras.

Portanto, o mais velho pode receber seus presentes de 2\cdot 15=30 maneiras.

Sobram 8-3=5 presentes (incluindo o outro item do par bicicleta/celular, que já não pode ir para o mais velho, mas pode ir para os demais).

3. O mais novo recebe 3 dos 5 restantes: \binom{5}{3}=10 maneiras.
4. O do meio fica com os 2 que sobram: 1 maneira.

Total, pelo princípio multiplicativo:

Conferindo por outro caminho: sem restrição, seriam \binom{8}{3}\binom{5}{3}=56\cdot 10=560. Com a restrição, o mais velho tem 30 das 56 combinações possíveis, e 30\cdot10=300 confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (560) é o total sem restrição, tentação para quem esquece a condição de 'ou bicicleta ou celular, mas não ambos'.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACalcula só parte da contagem, sem multiplicar pelas escolhas do filho mais novo.
• BSoma valores em vez de multiplicar as etapas independentes.
• DMultiplica por 12 em vez de 10, erro de contagem na escolha dos presentes dos outros filhos.
• EÉ o total sem a restrição: 56\cdot10, ignorando a condição sobre bicicleta e celular.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Princípio fundamental da contagem.

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