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Questão 164 do ENEM 2025

2º dia · Matemática · H8 · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

O dono de uma embarcação deve partir do ponto P e chegar ao ponto R por meio de dois deslocamentos lineares e navegando a uma velocidade constante. Essa viagem será feita durante a noite, e como ele dispõe somente de uma bússola e de um relógio, planejou sua rota da seguinte forma:

1^o – partir do ponto P na direção 110 e navegar por 4 horas, alcançando um ponto Q;

2^o – partir do ponto Q na direção 90 e navegar por 2 horas, alcançando o ponto de destino R.

No entanto, ao direcionar o barco para o primeiro deslocamento, o fez na direção 340, em vez de 110. Com isso, realizou os seguintes deslocamentos:

1^o – partiu do ponto P na direção 340 e navegou por 4 horas, alcançando um ponto S;

2^o – partiu do ponto S na direção 90 e navegou por 2 horas, alcançando o ponto T.

A figura apresenta a bússola, a rota planejada e a rota executada.

Bússola circular graduada de 0 a 340 graus com os pontos cardeais N, L, S e O indicados; abaixo, diagrama com os pontos P, Q, R, S e T, mostrando os deslocamentos executados de P a S e de S a T em setas verdes, os planejados de P a Q e de Q a R em setas laranjas, e o trajeto em linha tracejada azul ligando T a R.

O dono da embarcação só percebeu o equívoco ao chegar ao ponto T. Com isso, agora ele precisa definir a direção e o tempo de navegação que lhe permita, partindo do ponto T, chegar ao ponto de destino R por meio de uma rota retilínea.

Considere 0,64 como aproximação para \cos 50^\circ.

A direção e o tempo aproximado de navegação que o dono da embarcação deve utilizar são, respectivamente,

A
135 e 7 horas e 15 minutos.
B
45 e 7 horas e 15 minutos.
C
135 e 12 horas.
D
135 e 6 horas.
E
45 e 6 horas.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Direções são medidas a partir do norte (0), no sentido horário: 90 é leste e 180 é sul. Vamos usar a velocidade como unidade: em t horas, o barco percorre t unidades de distância.

O ângulo entre as direções 110 e 340 é 340-110=230, ou seja, 360-230=130 no menor sentido. Mas o que importa é o triângulo PST ou PQR com os deslocamentos.

Vamos usar coordenadas (leste x, norte y), com P=(0,0) e velocidade 1:

Direção 110: Q = 4(\sen 110^\circ, \cos 110^\circ)=4(\cos 20^\circ, -\sen 20^\circ).
Direção 340: S = 4(\sen 340^\circ, \cos 340^\circ)=4(-\sen 20^\circ, \cos 20^\circ).
R = Q+(2,0) e T = S+(2,0).

O vetor T\to R é R-T = Q-S = 4(\cos 20^\circ+\sen 20^\circ,\ -\sen 20^\circ-\cos 20^\circ).

As componentes têm o mesmo módulo e sinais opostos: o deslocamento é para leste e para o sul, na diagonal. A direção é, portanto, 90+45=135.

O comprimento é 4(\cos 20^\circ+\sen 20^\circ)\sqrt2. Como \cos20^\circ\approx0{,}94 e \sen20^\circ\approx0{,}34, a soma é \approx1{,}28, e o comprimento é \approx 4\cdot1{,}28\cdot1{,}414\approx7{,}24.

Ou seja, cerca de 7{,}25 h, isto é, 7 horas e 15 minutos. (Pelo dado do enunciado: \|Q-S\|^2=4^2+4^2-2\cdot16\cos130^\circ=32+32\cdot0{,}64=52{,}48, e \sqrt{52{,}48}\approx7{,}24.)

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bacerta o tempo, mas troca a direção: 45 aponta para nordeste, e o barco deve ir para sudeste.
Cdireção correta, mas o tempo de 12 horas não corresponde ao comprimento calculado.
Ddireção correta, mas 6 horas subestima a distância (o ângulo é obtuso, então a distância supera 4√2≈5,7 por bastante).
Edireção e tempo errados.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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Questão 164 no caderno Azul do ENEM 2025

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