Questão 171 do ENEM 2024

O perímetro é sempre k. Para cada figura, o lado vale k dividido pelo número de lados, e calculamos a área.

1. Triângulo equilátero: lado \ell = \frac{k}{3}. Área = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \frac{k^2\sqrt{3}}{36}.

2. Quadrado: lado \ell = \frac{k}{4}. Área = \frac{k^2}{16}.

3. Hexágono regular: lado \ell = \frac{k}{6}. Ele é formado por 6 triângulos equiláteros de lado \ell, então a área é 6\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{k^2}{36} = \frac{k^2\sqrt{3}}{24}.

Comparando os coeficientes de k^2:

• triângulo: \frac{\sqrt{3}}{36}\approx\frac{1{,}732}{36}\approx 0{,}048;
• quadrado: \frac{1}{16}=0{,}0625;
• hexágono: \frac{\sqrt{3}}{24}\approx\frac{1{,}732}{24}\approx 0{,}072.

A maior área é a do hexágono regular, de \frac{k^2\sqrt{3}}{24}. Isso é coerente: com o mesmo perímetro, quanto mais lados o polígono regular tem, maior sua área.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Busa o lado k em vez de k/6, ignorando que o perímetro total é k, o que dá uma área absurdamente grande.
• Ca área do quadrado está correta, mas ela é menor que a do hexágono, então a escolha não é o quadrado.
• Da área do triângulo está correta, mas é a menor das três.
• Eusa o lado k para o triângulo em vez de k/3.

Assuntos: áreas de polígonos regulares, perímetro, triângulo equilátero.