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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 155 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H9 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo \alpha, em grau, e do raio R, em metro.

Vista superior da área de cobertura do sensor no ponto S, representada por um setor circular destacado em azul com ângulo central alfa e raio R.

Ao aumentar o ângulo \alpha ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

  • tipo I: \alpha = 15^\circ e R = 20\text{ m};
  • tipo II: \alpha = 30^\circ e R = 22\text{ m};
  • tipo III: \alpha = 40^\circ e R = 12\text{ m};
  • tipo IV: \alpha = 60^\circ e R = 16\text{ m};
  • tipo V: \alpha = 90^\circ e R = 10\text{ m}.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70\text{ m}^2, com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para \pi.

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Resolução comentada

A área de um setor circular de ângulo \alpha e raio R é uma fração do círculo: A = \dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi R^2. Com \pi = 3, calculamos cada sensor:

  1. Tipo I: \dfrac{15}{360}\cdot 3\cdot 400 = \dfrac{1}{24}\cdot 1200 = 50\ \text{m}^2.
  2. Tipo II: \dfrac{30}{360}\cdot 3\cdot 484 = \dfrac{1}{12}\cdot 1452 = 121\ \text{m}^2.
  3. Tipo III: \dfrac{40}{360}\cdot 3\cdot 144 = \dfrac{1}{9}\cdot 432 = 48\ \text{m}^2.
  4. Tipo IV: \dfrac{60}{360}\cdot 3\cdot 256 = \dfrac{1}{6}\cdot 768 = 128\ \text{m}^2.
  5. Tipo V: \dfrac{90}{360}\cdot 3\cdot 100 = \dfrac{1}{4}\cdot 300 = 75\ \text{m}^2.

O mínimo exigido é 70\ \text{m}^2. Ficam de fora os tipos I (50) e III (48). Atendem os tipos II (121), IV (128) e V (75).

Como o preço cresce com a área, o mais barato entre os que atendem é o de menor área, ou seja, o tipo V, com 75\ \text{m}^2.

Alternativa E.

Pegadinha: Os tipos II e IV têm ângulos e raios maiores e parecem "mais seguros", mas o pedido é o menor preço, ou seja, a menor área que ainda passe de 70\ \text{m}^2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACobre apenas 50\ \text{m}^2, abaixo dos 70\ \text{m}^2 exigidos.
  • BCobre 121\ \text{m}^2, atende, mas tem área bem maior e, portanto, preço maior que o tipo V.
  • CCobre apenas 48\ \text{m}^2, insuficiente.
  • DCobre 128\ \text{m}^2, atende, mas é o mais caro dos que servem.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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