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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 150 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H13 · Matemática: Lucro, custo e comparação de preços

Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 m e 6 m, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 cm.

Planta baixa da sala retangular de dimensões 6 m por 3 m, com uma fileira central de círculos azuis representando as colunas entre as paredes superior e inferior. Há duas portas representadas na parede inferior.

Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.

Loja Raio (cm) Preço por
unidade (R$)
I 5 60
II 10 70
III 12 75
IV 15 90
V 20 120

A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.

A compra será realizada na loja

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A fileira de colunas fica sobre uma reta paralela aos lados menores (3 m), então ela cobre a extensão de 3\ \text{m} = 300\ \text{cm}, de parede a parede. Nessa reta ficam n colunas de diâmetro d = 2r, com n+1 vãos (um entre cada par de colunas e um entre cada extremo e a parede). Cada vão mede no máximo 15 cm.

Condição: n\cdot d + (n+1)\cdot 15 \ge 300, ou seja, os vãos ficam com no máximo 15 cm quando n(d+15) \ge 285. Então n \ge \dfrac{285}{d+15}, com n inteiro.

  1. Loja I: d=10, n \ge 285/25 = 11{,}4, logo n=12; custo 12\cdot 60 = 720.
  2. Loja II: d=20, n \ge 285/35 \approx 8{,}14, logo n=9; custo 9\cdot 70 = 630.
  3. Loja III: d=24, n \ge 285/39 \approx 7{,}31, logo n=8; custo 8\cdot 75 = 600.
  4. Loja IV: d=30, n \ge 285/45 \approx 6{,}33, logo n=7; custo 7\cdot 90 = 630.
  5. Loja V: d=40, n \ge 285/55 \approx 5{,}18, logo n=6; custo 6\cdot 120 = 720.

O menor valor total é R$ 600, na loja III.

Alternativa C.

Pegadinha: Escolher só pelo menor preço unitário (loja I) ou pelo maior raio ignora que o número de colunas muda; é preciso arredondar n para cima em cada loja.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AColunas pequenas exigem 12 unidades e o total (R$ 720) fica alto.
  • BPrecisa de 9 colunas, total de R$ 630, acima do menor valor.
  • DPrecisa de 7 colunas, total de R$ 630, acima do menor valor.
  • EPrecisa de 6 colunas de R$ 120, total de R$ 720.

Assuntos: Lucro, custo e comparação de preços, Inequações e desigualdades, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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