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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 138 do ENEM 2024

2º dia · Matemática · H3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.

Teclado alfanumérico com teclas dispostas em 4 linhas e 3 colunas: linha 1 com teclas 1, 2 (ABC), 3 (DEF); linha 2 com teclas 4 (GHI), 5 (JKL), 6 (MNO); linha 3 com teclas 7 (PQRS), 8 (TUV), 9 (WXYZ); linha 4 com teclas com traço, 0 e com traço.

Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.

As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.

O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é

  1. A
    11 520.
  2. B
    14 400.
  3. C
    18 000.
  4. D
    312 000.
  5. E
    390 000.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A senha tem 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Vamos usar o princípio multiplicativo: contamos as escolhas de cada posição.

As teclas disponíveis são 1, 2, 5, 7 e 0. Os algarismos possíveis são, portanto, 5: 1, 2, 5, 7 e 0.

As letras só existem nas teclas 2 (ABC), 5 (JKL) e 7 (PQRS). As teclas 1 e 0 não têm letras. Logo, o total de letras disponíveis é 3+3+4=10.

Cálculo:

  1. Primeiro algarismo: 5 opções.
  2. Segundo algarismo, distinto do primeiro: 4 opções.
  3. Primeira letra: 10 opções.
  4. Segunda letra, diferente da primeira: 9 opções.
  5. Terceira letra, diferente das anteriores: 8 opções.

Multiplicando:

5\cdot 4\cdot 10\cdot 9\cdot 8 = 20\cdot 720 = 14\ 400

Não há dependência entre a tecla do algarismo e a das letras: o funcionário pode escolher qualquer combinação das teclas permitidas. A ordem importa (algarismos primeiro, letras depois), então usamos arranjos, e não combinações.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AErra a contagem das letras ou dos algarismos (por exemplo, usa menos letras disponíveis), chegando a um valor menor que o correto.
  • CPermite repetir um dos algarismos ou trata as opções de forma inconsistente, resultando em 18\ 000 e não em 14\ 400.
  • DPermite repetição de letras (10^3) com algarismos distintos, ou outro erro semelhante, inflando o resultado.
  • EUsa 5·5 para os algarismos e letras distintas, mas não respeita a condição de algarismos distintos, ou outra contagem inflada.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Permutações.

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