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Questão 170 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H22 · Matemática: Função quadrática

Analisando as vendas de uma empresa, o gerente concluiu que o montante diário arrecadado, em milhar de real, poderia ser calculado pela expressão V(x) = \frac{x^2}{4} - 10x + 105, em que os valores de x representam os dias do mês, variando de 1 a 30.

Um dos fatores para avaliar o desempenho mensal da empresa é verificar qual é o menor montante diário V_0 arrecadado ao longo do mês e classificar o desempenho conforme as categorias apresentadas a seguir, em que as quantidades estão expressas em milhar de real.

  • Ótimo: V_0 \ge 24
  • Bom: 20 \le V_0 < 24
  • Normal: 10 \le V_0 < 20
  • Ruim: 4 \le V_0 < 10
  • Péssimo: V_0 < 4

No caso analisado, qual seria a classificação do desempenho da empresa?

  1. A
    Ótimo.
  2. B
    Bom.
  3. C
    Normal.
  4. D
    Ruim.
  5. E
    Péssimo.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A função V(x)=\frac{x^2}{4}-10x+105 é uma parábola com concavidade para cima, pois o coeficiente de x^2 é \frac{1}{4}>0. Por isso, ela tem um ponto de mínimo no vértice.\n\n1. Coeficientes: a=\frac{1}{4}, b=-10, c=105.\n\n2. Dia do mínimo: x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{10}{2\cdot\frac{1}{4}}=\frac{10}{\frac{1}{2}}=20.\n\nO dia 20 está entre 1 e 30, então o mínimo do mês ocorre nele.\n\n3. Valor mínimo:\n\n

V(20)=\frac{20^2}{4}-10\cdot 20+105=\frac{400}{4}-200+105=100-200+105=5
\n\nLogo, V_0=5 milhares de reais.\n\n4. Classificação: 4\le 5<10, que corresponde a "Ruim".\n\nConfira pelo discriminante: \Delta=100-4\cdot\frac{1}{4}\cdot105=100-105=-5, e y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{5}{1}=5, o mesmo resultado.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora o mínimo e não compara V_0=5 com as faixas; ótimo exigiria V_0\ge 24.
  • BExigiria V_0 entre 20 e 24, valor incompatível com o mínimo de 5.
  • CExigiria V_0 entre 10 e 20; o mínimo real é 5, abaixo disso.
  • EPéssimo exigiria V_0<4; erra ao calcular o vértice (por exemplo, usando o discriminante negativo como valor).

Assunto: Função quadrática.

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