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Questão 169 do ENEM 2023

2º dia · Matemática · H2 · Matemática: Progressão geométrica

O esquema mostra como a intensidade luminosa decresce com o aumento da profundidade em um rio, sendo L_0 a intensidade na sua superfície.

Esquema mostrando a intensidade luminosa diminuindo com a profundidade: a 0 m de profundidade a intensidade é L0; a 1 m é 2/3 L0; a 2 m é 4/9 L0; e a 3 m é 8/27 L0.

Considere que a intensidade luminosa diminui, a cada metro acrescido na profundidade, segundo o mesmo padrão do esquema.

A intensidade luminosa correspondente à profundidade de 6 m é igual a

  1. A
    \dfrac{1}{9} L_0
  2. B
    \dfrac{16}{27} L_0
  3. C
    \dfrac{32}{243} L_0
  4. D
    \dfrac{64}{729} L_0
  5. E
    \dfrac{128}{2\,187} L_0
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Resolução comentada

A intensidade em cada profundidade é a da anterior multiplicada por um mesmo fator. Isso é uma progressão geométrica (PG), em que cada termo é o anterior vezes a razão q.

Pelo esquema, a razão é:

q=\dfrac{\frac{2}{3}L_0}{L_0}=\dfrac{2}{3}

Confirmando com os outros valores: \dfrac{4/9}{2/3}=\dfrac{2}{3} e \dfrac{8/27}{4/9}=\dfrac{2}{3}.

Assim, a intensidade a n metros de profundidade é:

L(n)=L_0\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^n

Para n=6:

  1. Numerador: 2^6=64.
  2. Denominador: 3^6=729.
  3. Logo, L(6)=\dfrac{64}{729}L_0.

Podemos conferir continuando o esquema: 4 m: \frac{16}{81}; 5 m: \frac{32}{243}; 6 m: \frac{64}{729}.

Alternativa D.

Pegadinha: As alternativas C e E são potências vizinhas (n=5 e n=7), feitas para quem erra o expoente por um.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão segue o padrão do esquema; \frac{1}{9} não é potência de \frac{2}{3}.
  • BVem de \frac{16}{27}, que não corresponde a nenhuma potência de \frac{2}{3} com expoente inteiro.
  • CÉ \left(\frac{2}{3}\right)^5, ou seja, a intensidade a 5 m, um termo antes do pedido.
  • EÉ \left(\frac{2}{3}\right)^7, a intensidade a 7 m, um termo além do pedido.

Assunto: Progressão geométrica.

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